Гармония правильных многогранников. Урок «Элементы симметрии правильных многогранников Геометрическая фигура октаэдр
Правильными называют выпуклые многогранники, все грани которых представляют собой одинаковые правильные многоугольники, и в каждой вершине сходится одинаковое количество граней. Такие многогранники называют также платоновыми телами.
Существует всего пять правильных многогранников:
|
Изображение |
Тип правильного многогранника |
Число сторон у грани |
Число рёбер, примыкающих к вершине |
Общее число вершин |
Общее число рёбер |
Общее число граней |
|
Тетраэдр |
||||||
|
Гексаэдр или куб |
||||||
|
Додекаэдр |
||||||
|
Икосаэдр |
Название каждого многогранника происходит от греческого названия количества его граней и слова "грань".
Тетраэдр
Тетраэдр (греч. фефсбедспн -- четырёхгранник) -- многогранник с четырьмя треугольными гранями, в каждой из вершин которого сходятся по 3 грани. У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер.
Свойства тетраэдра
Параллельные плоскости, проходящие через пары скрещивающихся рёбер тетраэдра, определяют описанный около тетраэдра параллелепипед.
Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с точкой пересечения медиан противоположной грани, называется его медианой, опущенной из данной вершины.
Отрезок, соединяющий середины скрещивающихся рёбер тетраэдра, называется его бимедианой, соединяющей данные рёбра.
Отрезок, соединяющий вершину с точкой противоположной грани и перпендикулярный этой грани, называется его высотой, опущенной из данной вершины.
Теорема. Все медианы и бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке. Эта точка делит медианы в отношении 3:1, считая от вершины. Эта точка делит бимедианы пополам.
Выделяют:
- · равногранный тетраэдр, у которого все грани - равные между собой треугольники;
- · ортоцентрический тетраэдр, у которого все высоты, опущенные из вершин на противоположные грани, пересекаются в одной точке;
- · прямоугольный тетраэдр, у которого все ребра, прилежащие к одной из вершин, перпендикулярны между собой;
- · правильный тетраэдр, у которого все грани - равносторонние треугольники;
- · каркасный тетраэдр -- тетраэдр, отвечающий любому из условий:
- · Существует сфера, касающаяся всех ребер.
- · Суммы длин скрещивающихся ребер равны.
- · Суммы двугранных углов при противоположных ребрах равны.
- · Окружности, вписанные в грани, попарно касаются.
- · Все четырехугольники, получающиеся на развертке тетраэдра, -- описанные.
- · Перпендикуляры, восставленные к граням из центров вписанных в них окружностей, пересекаются в одной точке.
- · соразмерный тетраэдр, все бивысоты которого равны;
- · инцентрический тетраэдр, у которого отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с центрами окружностей, вписанных в противоположные грани, пересекаются в одной точке.
Куб или правильный гексаэдр -- правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат. Частный случай параллелепипеда и призмы.
Свойства куба
- · Четыре сечения куба являются правильными шестиугольниками -- эти сечения проходят через центр куба перпендикулярно четырём его главным диагоналям.
- · В куб можно вписать тетраэдр двумя способами. В обоих случаях четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами куба и все шесть рёбер тетраэдра будут принадлежать граням куба. В первом случае все вершины тетраэдра принадлежат граням трехгранного угла, вершина которого совпадает с одной из вершин куба. Во втором случае попарно скрещивающиеся ребра тетраэдра принадлежат попарно противолежащим граням куба. Такой тетраэдр является правильным.
- · В куб можно вписать октаэдр, притом все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести граней куба.
- · Куб можно вписать в октаэдр, притом все восемь вершин куба будут расположены в центрах восьми граней октаэдра.
- · В куб можно вписать икосаэдр, при этом шесть взаимно параллельных рёбер икосаэдра будут расположены соответственно на шести гранях куба, остальные 24 ребра -- внутри куба. Все двенадцать вершин икосаэдра будут лежать на шести гранях куба.
Диагональю куба называют отрезок, соединяющий две вершины, симметричные относительно центра куба. Диагональ куба находится по формуле
многогранник икосаэдр октаэдр додекаэдр
где d -- диагональ, а -- ребро куба.
Октаэдр
Октаэдр (греч. пкфЬедспн, от греч. пкфю, «восемь» и греч. Эдсб -- «основание») -- один из пяти выпуклых правильных многогранников, так называемых Платоновых тел.
Октаэдр имеет 8 треугольных граней, 12 рёбер, 6 вершин, в каждой его вершине сходятся 4 ребра.
Если длина ребра октаэдра равна а, то площадь его полной поверхности (S) и объём октаэдра (V) вычисляются по формулам:
Радиус сферы, описанной вокруг октаэдра, равен:
радиус вписанной в октаэдр сферы может быть вычислен по формуле:
Правильный октаэдр имеет симметрию Oh, совпадающую с симметрией куба.
Октаэдр имеет одну звездчатую форму. Октаэдр был открыт Леонардо да Винчи, затем спустя почти 100 лет переоткрыт Иоганном Кеплером, и назван им Stella octangula -- звезда восьмиугольная. Отсюда эта форма имеет и второе название «stella octangula Кеплера».
По сути она является соединением двух тетраэдров
Додекаэдр
Додекаэдр (от греч. дюдекб -- двенадцать и едспн -- грань), двенадцатигранник -- правильный многогранник, составленный из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников.
Таким образом, додекаэдр имеет 12 граней (пятиугольных), 30 рёбер и 20 вершин (в каждой сходятся 3 ребра). Сумма плоских углов при каждой из 20 вершин равна 324°.
Додекаэдр имеет 3 звёздчатые формы: малый звёздчатый додекаэдр, большой додекаэдр, большой звёздчатый додекаэдр (звёздчатый большой додекаэдр, завершающая форма). Первые две из них были открыты Кеплером (1619), третья -- Пуансо (1809). В отличие от октаэдра любая из звёздчатых форм додекаэдра не является соединением платоновых тел, а образует новый многогранник.
Все 3 звёздчатые формы додекаэдра, вместе с большим икосаэдром образуют семейство тел Кеплера-Пуансо, то есть правильных невыпуклых (звёздчатых) многогранников.
У большого додекаэдра гранями являются пятиугольники, которые, сходятся по пять в каждой из вершин. У малого звёздчатого и большого звёздчатого додекаэдров грани - пятиконечные звёзды (пентаграммы), которые в первом случае сходятся по 5, а во втором по 3. Вершины большого звёздчатого додекаэдра совпадают с вершинами описанного додекаэдра. У каждой вершины соединяются три грани.
Основные формулы:
Если за длину ребра принять a, то площадь поверхности додекаэдра:
Объем додекаэдра:
Радиус описанной сферы:
Радиус вписанной сферы:
Элементы симметрии додекаэдра:
· Додекаэдр имеет центр симметрии и 15 осей симметрии.
Каждая из осей проходит через середины противолежащих параллельных ребер.
· Додекаэдр имеет 15 плоскостей симметрии. Любая из плоскостей симметрии проходит в каждой грани через вершину и середину противоположного ребра.
Икосаэдр
Икосаэдр (от греч. ейкпуЬт -- двадцать; -едспн -- грань, лицо, основание) -- правильный выпуклый многогранник, двадцатигранник, одно из Платоновых тел. Каждая из 20 граней представляет собой равносторонний треугольник. Число ребер равно 30, число вершин -- 12.
Площадь S, объём V икосаэдра с длиной ребра a, а также радиусы вписанной и описанной сфер вычисляются по формулам:
радиус вписанной сферы:
радиус описанной сферы:
Свойства
- · Икосаэдр можно вписать в куб, при этом, шесть взаимно перпендикулярных рёбер икосаэдра будут расположены соответственно на шести гранях куба, остальные 24 ребра внутри куба, все двенадцать вершин икосаэдра будут лежать на шести гранях куба.
- · В икосаэдр может быть вписан тетраэдр, притом, четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами икосаэдра.
- · Икосаэдр можно вписать в додекаэдр, при этом вершины икосаэдра будут совмещены с центрами граней додекаэдра.
- · В икосаэдр можно вписать додекаэдр с совмещением вершин додекаэдра и центров граней икосаэдра.
- · Усечённый икосаэдр может быть получен срезанием 12 вершин с образованием граней в виде правильных пятиугольников. При этом число вершин нового многогранника увеличивается в 5 раз (12?5=60), 20 треугольных граней превращаются в правильные шестиугольники (всего граней становится 20+12=32), а число рёбер возрастает до 30+12?5=90.
Икосаэдр имеет 59 звёздчатых форм, из которых 32 обладают полной, а 27 неполной икосаэдральной симметрией. Одна из этих звёздчатых форм (20-я, мод. 41 по Веннинджеру), называемая большим икосаэдром, является одним из четырёх правильных звёздчатых многогранников Кеплера--Пуансо. Его гранями являются правильные треугольники, которые сходятся в каждой вершине по пять; это свойство является у большого икосаэдра общим с икосаэдром.
Среди звёздчатых форм также имеются: соединение пяти октаэдров, соединение пяти тетраэдров, соединение десяти тетраэдров.
Октаэдр – один из пяти правильных многогранников, имеющий 8 треугольных граней, 12 рёбер, 6 вершин. Каждая его вершина является вершиной четырёх треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 240 градусов. Октаэдр имеет центр симметрии - центр октаэдра, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии.
В природе, в науке, в жизни этот многогранник встречается довольно часто: он находит применение в объяснении структуры и форм Вселенной, в строении ДНК и нанотехнологиях, в создании игр-головоломок.
Но чаще всего он встречается, пожалуй, в первом – в природе. А именно, в строении кристаллов. Форму октаэдра имеют кристаллы алмаза, перовскита, оливина, флюорита, шпинели, алюминиево-калиевых квасцов, медного купороса и даже хлорида натрия и золота!
Многогранники также используются в живописи. Ярчайшим примером художественного изображения многогранников в XX веке являются, конечно, графические фантазии Маурица Корнилиса Эшера (1898-1972), голландского художника, родившегося в Леувардене. Мауриц Эшер в своих рисунках как бы открыл и интуитивно проиллюстрировал законы сочетания элементов симметрии, т.е. те законы, которые властвуют над кристаллами, определяя и их внешнюю форму, и их атомную структуру, и их физические свойства.
Правильные геометрические тела - многогранники - имели особое очарование для Эшера. В его многих работах многогранники являются главной фигурой и в еще большем количестве работ они встречаются в качестве вспомогательных элементов.
Рис. 7. Гравюра «Звезды» Эшера
Наиболее интересная работа Эшера - гравюра "Звезды", на которой можно увидеть тела, полученные объединением тетраэдров, кубов и октаэдров.
Заключение
В ходе данной работы было рассмотрено понятие правильных многогранников, мы узнали, что многогранник называется правильным, если: 1) он выпуклый; 2) все его грани – равные друг другу правильные многоугольники; 3) все его двугранные равны; 4) в каждой его вершине сходится одинаковое число ребер.
Рассмотрев историю возникновения платоновых тел, мы узнали, что всего существуют пять правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Их названия из Древней Греции. В дословном переводе с греческого "тетраэдр", "октаэдр", "гексаэдр", "додекаэдр", "икосаэдр" означают: "четырехгранник", "восьмигранник", "шестигранник", "двенадцатигранник", "двадцатигранник".
Использованная литература и источники позволили более глубоко рассмотреть данную тему.
Проанализировав подробнее икосаэдр и октаэдр, а также их применение в различных областях, мы увидели, что изучение платоновых тел и связанных с ними фигур продолжается и поныне. И хотя основными мотивами современных исследований служат красота и симметрия, они имеют также и некоторое научное значение, особенно в кристаллографии. Кристаллы поваренной соли, тиоантимонида натрия и хромовых квасцов встречаются в природе в виде куба, тетраэдра и октаэдра соответственно. Икосаэдр среди кристаллических форм не встречается, но его можно наблюдать среди форм микроскопических морских организмов, известных под названием радиолярий.
Идеи Платона и Кеплера о связи правильных многогранников с гармоничным устройством мира и в наше время нашли своё продолжение в интересной научной гипотезе о том, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее, его силовое поле, обуславливают икосаэдро-додекаэдровую структуру Земли. Она проявляется в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра.
Большой интерес к формам правильных многогранников проявляли также скульпторы, архитекторы, художники. Их всех поражало совершенство, гармония многогранников.
Список литературы
1. Александров А. Д. и др. Геометрия для 10-11 классов: Учеб. Пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики / А. Д. Александров, А. Л. Вернер, В. И. Рыжик. – 3-е изд., перераб. - М.: Просвещение, 1992 – 464 с.
2. Атанасян Л.С и другие. Геометрия 10 - 11.- М.: Просвещение, 2003.
3. Василевский А.Б. Параллельные проекции.- Москва, 2012.
4. Волошинов А.В. Математика и искусство.- М.: Просвещение, 2002.
5. Гончар В. В. Модели многогранников. – М.: Аким, 1997. – 64 с.
6. Дитяткин В.Г. Леонардо да Винчи.- М.: Москва, 2002.
7. Евклид. Начала.- В 3 т. М.; Л.; 1948 – 1950.
8. Математика: Школьная энциклопедия / гл. ред. Никольский С. М. – М.: Научное изд. «Большая Российская энциклопедия», 1996
9. Пидоу Д. Геометрия и искусство. - Москва, 1999.
