Основные законы и формулы электростатики. Электростатика
Электроста́тика, раздел теории электричества, в котором изучается взаимодействие неподвижных электрических зарядов . В основе электростатики, изучающей стационарное силовое взаимодействие между макроскопическими неподвижными заряженными телами, заложены три экспериментально установленных факта: наличие двух видов электрических зарядов, существование взаимодействия между ними, осуществляемое электрическим полем , и принцип суперпозиции , когда взаимодействие любых двух зарядов не зависит от присутствия других.
Существует два типа зарядов, положительные, обозначаемые знаком плюс «+», и отрицательные, которым присвоен знак минус «-». Заряды создают вокруг себя электрическое поле. Поле неподвижных зарядов является электростатическим полем . Электрический заряд и электрическое поле - первичные понятия электростатики.
Суммарный заряд тела, как положительный, так и отрицательный всегда кратен некоторому элементарному электрическому заряду . В электростатике изучаются физические величины, усредненные в пространстве и во времени. При усреднении в пространстве применяют обычные методы физики сплошных сред, усреднение по времени позволяет считать стационарными заряды, находящиеся в тепловом движении. Положительные и отрицательные заряды являются составными частями молекул, и все макроскопические тела содержат огромное количество положительных и отрицательных зарядов, но об электростатическом взаимодействии говорят лишь в том случае, когда тело имеет избыток зарядов одного знака. Заряд макроскопического тела определяется суммарным зарядом элементарных частиц, из которых состоит это тело. Усреднение позволяет рассматривать не только отдельные заряды, но и вводить представление об объемной плотности заряда. Закон сохранения зарядов утверждает, что в замкнутой системе заряд сохраняется.
Мерой электрического поля, осуществляющего взаимодействие зарядов, в любой его точке является напряженность . Изображают электрическое поле с помощью силовых линий - линий, касательная к которым совпадает с направлением напряженности поля. Напряженность поля в любой точке пропорциональна величине образующего заряда, поэтому в принципе возможно поставить в соответствие элементарному заряду определенное ограниченное число силовых линий.
Электрические заряды одного знака отталкивают друг друга, заряды противоположного знака - притягиваются. На этом явлении основан принцип работы электрометра . Регистрация взаимодействия зарядов всегда осуществляется на расстояниях, значительно больших, чем межатомные. Между электрическими зарядами, размером которых можно пренебречь, действует сила, величина которой определяется законом Кулона . Закон Кулона - основной закон электростатики, определяет силу взаимодействия неподвижных точечных зарядов в зависимости от их величины и расстояния между ними.
Из закона Кулона следует, что работа электрических сил при перемещении заряда не зависит от пути, по которому заряд движется из одной точки в другую, а определяется лишь положением этих точек в пространстве. Если одну из точек унести в бесконечность, то тогда в каждой точке можно поставить в соответствие электрический потенциал , который характеризует работу, которую нужно совершить, чтобы перенести единичный заряд из бесконечности в данную точку. Если в электрическом поле соединить все точки с одинаковым потенциалом, то мы получим поверхность равных потенциалов, или эквипотенциальную поверхность .
Принцип суперпозиции электрических полей - один из основных принципов электростатики, и является обобщений многих наблюдений. В соответствии с принципом суперпозиции напряженность электрического E поля нескольких неподвижных точечных зарядов q1, q2, q3 ...равна векторной сумме напряженности полей, которые бы создавал каждый из этих зарядов в отсутствии остальных. Фактически, он означает, что присутствие других зарядов не сказывается на поле, создаваемое данным зарядом.
Закон взаимодействия электрических зарядов можно сформулировать в виде теоремы Гаусса , которую можно рассматривать как следствие закона Кулона и принципа суперпозиции. Типичные задачи электростатики - нахождение распределения зарядов на поверхностях проводников по известным полным зарядам или потенциалам каждого из них, а также вычисление энергии системы проводников по их зарядам и потенциалам. Электростатика изучает также поведение различных материалов - проводников и диэлектриков - в электрическом поле.
Электродинамика как серьезный и многообразный раздел современной физики подразделяется на несколько основных направлений. Электродинамика призвана изучать понятие электрического заряда. Электрический заряд плотно связан с электромагнитным полем. Оно является его материальным источником возникновения. Само электромагнитное поле представляет собой внутреннюю характеристику элементарных частиц, которые находятся в постоянном взаимодействии друг с другом, что порождает разнообразные физические явления и свойства тел. Электрический заряд является скалярной физической величиной и определяет электромагнитное взаимодействие.
Рисунок 1. Понятие электростатики. Автор24 - интернет-биржа студенческих работ
По первой модели взаимодействия частиц любая заряженная частица способна возбуждать окружающее пространство вокруг себя. При этом любая другая частица, которая окажется в таком возмущенном пространстве, будет испытывать действие определенной силы. В этом случае принято рассматривать частицу, попавшую в электромагнитное поле. Факт присутствия заряженной частицы обязательно должна быть связана с источником этой силы. В этом состоит электрическая составляющая особенности процесса. Магнитная основа будет связана с ее движением. Каждое заряженное тело можно рассматривать в виде совокупности заряженных частиц, которые могут создавать электромагнитное поле.
Электростатика – раздел электродинамики
Электростатика, как раздел электродинамики рассматривает взаимодействие неподвижных электрических зарядов, пропущенных сквозь электростатическое поле. Заряды являются неподвижными относительно другой системы отсчета, поэтому все выводы можно делать на приблизительном уровне, однако оно всегда движутся с некоторой скоростью относительно иной системы отсчета.
Всего принято различать два типа электрических зарядов:
- положительные;
- отрицательные.
В качестве носителей таких электрических зарядов могут быть элементарные частицы. В их состав должны непременно входить атомы. Все атомы состоят из:
- отрицательного заряда (электрона);
- положительного заряда (протона).
Им свойственны некоторые характерные черты. Единицей измерения заряда является кулон. Заряженным тело является, если оно содержит разное количество положительных и отрицательных элементарных частиц.
Для проявления электромагнитного поля необходимо действие электромагнитных сил. Оно заключается в формировании:
- силы трения;
- силы упругости;
- действия электромагнитных сил на уровне элементарных частиц.
Изучая основы электростатики невозможно не остановиться на понятии электризации тел. Это способ получения заряженных частиц путем соприкосновения. В этом случае тела будут взаимно заряжаться, но они станут равны по модулю и противоположными по знаку заряда.
Основные понятия электростатики
Основным законом электростатики является закон Кулона. Он определяется, как сила взаимодействия двух неподвижных точечных заряженных тела. Она протекает в условиях вакуума и прямо пропорциональна произведению модулей заряда, а также обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.
Тела считаются точечными в тот момент, когда расстояние между ними гораздо больше размеров самих тел. Тела взаимодействуют согласно закону Кулона в том случае, если у них существует электрические заряды.
Напряженность электрического поля представляет собой определенную количественную характеристику электрического поля. Оно сочетает в себе признаки отношения силы. С таким параметром поле действует на точечный заряд. Его соотносят с величиной данного заряда. Также напряженность поля не может лежать в зависимости от величины внесенного заряда. Оно только характеризует в общем все электрическое поле. Направление вектора напряженности должно полностью совпадать с направлением силы вектора, который действует на положительный заряд, а также оно противоположно направлению силы, что действует на отрицательный заряд.
Силовые линии
Чтобы сформировать на теоретическом уровне понятие электрического поля пользуются составлением силовых линий. Подобные линии проводятся так, чтобы направление вектора напряженности в каждой точке совпадало с направлением касательной к силовой линии. Силовые линии могут обладать рядом характерных признаков и свойств.
Они не могут пересекаться в электростатическом поле. Эти линии оказываются направленными к отрицательным зарядам от положительных зарядов. Когда изображают силовые линии электрического поля прибегают к различной густоте из нанесения. Они должны быть соразмерны модулю вектора напряженности поля. Их густота увеличивается согласно напряженности и всегда ей пропорциональна.
В определенной точке пространства принято проводит всего одну силовую линию. Это связано с тем, что напряженность электрического поля в этой точке можно задать только однозначно.
Рисунок 2. Понятие электродинамики. Автор24 - интернет-биржа студенческих работ
Если электрическое поле однородно, тогда вектор напряженности также находится на одинаковом с ним уровне. Это проявляется во всех точках поля в пространстве. Такое поле создает плоский конденсатор-пластина. Они должны быть заряжены одинаковым количеством заряда, разделены слоем диэлектрика, однако это расстояние нужно создать меньше, чем размер самих пластин.
Электроемкость характеризует способность проводников накапливать электрический заряд в определенной точке. Она зависит от формы, взаимного расположения зарядов, размеров проводников, а также характерных свойств среды между проводниками.
Основные формулы электростатики выглядят следующим образом. Здесь представлены уравнения по взаимодействию зарядов, электрическому потенциалу, работе электростатического поля, электроемкости, а также напряженности электрического поля.
Рисунок 3. Основные формулы в электростатике. Автор24 - интернет-биржа студенческих работ
Также электродинамика изучает силовые линии электростатического поля, работу электростатического поля и эквипотенциальные поверхности. Также вводятся основы электрической цепи, законы постоянного тока, сопротивления и других определений, свойственных для этого раздела физики.
Между одноимённо заряженными телами возникает электростатическое (или кулоновское) отталкивание, а между разноимённо заряженными - электростатическое притяжение. Явление отталкивания одноименных зарядов лежит в основе создания электроскопа - прибора для обнаружения электрических зарядов.
В основе электростатики лежит закон Кулона. Этот закон описывает взаимодействие точечных электрических зарядов.
Основание электростатики положили работы Кулона (хотя за десять лет до него такие же результаты, даже с ещё большей точностью, получил Кавендиш. Результаты работ Кавендиша хранились в семейном архиве и были опубликованы только спустя сто лет); найденный последним закон электрических взаимодействий дал возможность Грину, Гауссу и Пуассону создать изящную в математическом отношении теорию. Самую существенную часть электростатики составляет теория потенциала, созданная Грином и Гауссом. Очень много опытных исследований по электростатике было произведено Рисом книги которого составляли в прежнее время главное пособие при изучении этих явлений.
Опыты Фарадея, произведенные еще в первую половину тридцатых годов XIX века, должны были повлечь за собой коренное изменение в основных положениях учения об электрических явлениях. Эти опыты указали, что то, что считалось совершенно пассивно относящимся к электричеству, а именно, изолирующие вещества или, как их назвал Фарадей, диэлектрики, имеет определяющее значение во всех электрических процессах и, в частности, в самой электризации проводников. Эти опыты обнаружили, что вещество изолирующего слоя между двумя поверхностями конденсатора играет важную роль в величине электроёмкости этого конденсатора. Замена воздуха, как изолирующего слоя между поверхностями конденсатора, каким-либо другим жидким или твердым изолятором производит на величину электроемкости конденсатора такое же действие, какое оказывает соответствующее уменьшение расстояния между этими поверхностями при сохранении воздуха в качестве изолятора. При замене слоя воздуха слоем другого жидкого или твердого диэлектрика электроемкость конденсатора увеличивается в K раз. Эта величина K названа Фарадеем индуктивной способностью данного диэлектрика. Сегодня величину K называют обыкновенно диэлектрической проницаемось этого изолирующего вещества.
Такое же изменение электрической ёмкости происходит и в каждом отдельном проводящем теле, когда это тело из воздуха переносится в другую изолирующую среду. Но изменение электроемкости тела влечет за собой изменение величины заряда на этом теле при данном потенциале на нём, а также и обратно, изменение потенциала тела при данном заряде его. Вместе с этим оно изменяет и электрическую энергию тела. Итак, значение изолирующей среды, в которой помещены электризуемые тела или которая отделяет собой поверхности конденсатора, является крайне существенным. Изолирующее вещество не только удерживает электрический заряд на поверхности тела, оно влияет на само электрическое состояние последнего. Таково заключение, к какому привели Фарадея его опыты. Это заключение вполне соответствовало основному взгляду Фарадея на электрические действия.
Согласно гипотезе Кулона, электрические действия между телами рассматривались, как действия, которые происходят на расстоянии. Принималось, что два заряда q и q", мысленно сосредоточенные в двух точках, отстоящих друг от друга на расстояние r, отталкивают или притягивают один другого по направлению линии, соединяющей эти две точки, с силой, которая определяется формулой
Причем коэффициент C является зависящим исключительно только от единиц, служащих для измерения величин q, r и f. Природа среды, внутри которой находятся данные две точки с зарядами q и q", предполагалось, не имеет никакого значения, не влияет на величину f. Фарадей держался совершенно иного взгляда на это. По его мнению, наэлектризованное тело только кажущимся образом действует на другое тело, находящееся в некотором расстоянии от него; на самом деле электризуемое тело лишь вызывает особые изменения в соприкасающейся с ним изолирующей среде, которые передаются в этой среде от слоя к слою, достигают, наконец, слоя, непосредственно прилегающего к другому рассматриваемому телу и производят там то, что представляется непосредственным действием первого тела на второе через отделяющую их среду. При таком воззрении на электрические действия закон Кулона, выражающийся вышепривёденной формулой, может служить только для описания того, что даёт наблюдение, и нисколько не выражает истинного процесса, происходящего при этом. Тогда становится понятным, что вообще электрические действия меняются при перемене изолирующей среды, поскольку в этом случае должны изменяться и те деформации, какие возникают в пространстве между двумя, по-видимому, действующими друг на друга наэлектризованными телами. Закон Кулона, так сказать, описывающий внешним образом явление, должен быть заменен другим, в который входит характеристика природы изолирующей среды. Для изотропной и однородной среды закон Кулона, как показали дальнейшие исследования, может быть выражен следующей формулой:
Здесь K обозначает то, что выше названо диэлектрической постоянной данной изолирующей среды. Величина K для воздуха равна единице, т. е. для воздуха взаимодействие между двумя точками с зарядами q и q" выражается так, как принял это Кулон.
Согласно основной идее Фарадея, окружающая изолирующая среда или, лучше, те изменения (поляризация среды), какие под влиянием процесса, приводящего тела в электрическое состояние, являются в наполняющем эту среду эфире, представляют собою причину всех наблюдаемых нами электрических действий. По Фарадею самая электризация проводников на их поверхности - лишь следствие влияния на них поляризованной окружающей среды. Изолирующая среда при этом находится в напряженном состоянии. На основании весьма простых опытов Фарадей пришел к заключению, что при возбуждении электрической поляризации в какой-либо среде, при возбуждении, как говорят теперь, электрического поля, в этой среде должно существовать натяжение вдоль силовых линий (силовая линия - это линия, касательные к которой совпадают с направлениями электрических сил, испытываемых положительным электричеством, воображенным в точках, находящихся на этой линии) и должно существовать давление по направлениям, перпендикулярным к силовым линиям. Такое напряженное состояние может вызываться только в изоляторах. Проводники не способны испытывать подобное изменение своего состояния, в них не происходит никакого возмущения; и только на поверхности таких проводящих тел, т. е. на границе между проводником и изолятором, поляризованное состояние изолирующей среды становится заметным, оно выражается в кажущемся распределении электричества на поверхности проводников. Итак, наэлектризованный проводник как бы связан с окружающей изолирующей средой. С поверхности этого наэлектризованного проводника как бы распространяются силовые линии, и эти линии заканчиваются на поверхности другого проводника, который видимым образом представляется покрытым противоположным по знаку электричеством. Вот какова картина, которую рисовал себе Фарадей для разъяснения явлений электризации.
Учение Фарадея не скоро было принято физиками. Опыты Фарадея рассматривались даже в шестидесятых годах, как не дающие права на допущением какого-либо существенного значения изоляторов в процессах электризации проводников. Только позднее, после появления замечательных работ Максвелла, идеи Фарадея стали все более и более распространяться между учеными и, наконец,были признаны вполне отвечающими фактам.
Здесь уместно отметить, что еще в шестидесятых годах проф. Ф. H. Шведов, на основании произведенных им опытов, весьма горячо и убедительно доказывал верность основных положений Фарадея относительно роли изоляторов . На самом деле, однако, за много лет до работ Фарадея уже было открыто влияние изоляторов на электрические процессы. Еще в начале 70-х годов XVIII столетия Кавендиш наблюдал и весьма тщательно изучил значение природы изолирующего слоя в конденсаторе. Опыты Кэвендиша, как и впоследствии опыты Фарадея, показали увеличение электроемкости конденсатора, когда слой воздуха в этом конденсаторе заменяется такой же толщины слоем какого-либо твердого диэлектрика. Эти опыты дают даже возможность определить численные величины диэлектрических постоянных некоторых изолирующих веществ, причем эти величины получаются сравнительно немного отличающимися от тех, какие найдены в последнее время при употреблении более совершенных измерительных приборов. Но эта работа Кавендиша, как и другие его исследования по электричеству, приведшие его к установлению закона электрических взаимодействий, тождественного с законом, опубликованным в 1785 г. Кулоном, оставались неизвестными вплоть до 1879 г. Только в этом году мемуары Кавендиша были обнародованы Максвеллом , повторившим почти все опыты Кавендиша и сделавшим по поводу их многие, весьма ценные указания.
Потенциал
Как уже выше упомянуто, в основание электростатики, вплоть до появления работ Максвелла, был положен закон Кулона:При допущении С = 1, т. е. при выражении количества электричества в так называемой абсолютной электростатической единице системы СГС, этот закон Кулона получает выражение:
Отсюда потенциальная функция или, проще, потенциал в точке, координаты которой (x, у, z), определяется формулой:
В которой интеграл распространяется на все электрические заряды в данном пространстве, а r обозначает расстояние элемента заряда dq до точки (x, у, z). Обозначая поверхностную плотность электричества на наэлектризованных телах через σ, а объемную плотность электричества в них через ρ, мы имеем
Здесь dS обозначает элемент поверхности тела, (ζ, η, ξ) - координаты элемента объема тела. Проекции на оси координат электрической силы F, испытываемой единицей положительного электричества в точке (x, у, z) находятся по формулам:
Поверхности, во всех точках которых V = пост., носят название эквипотенциальных поверхностей или, проще, поверхностей уровня. Линии, ортогональные к этим поверхностям, суть электрические силовые линии. Пространство, в котором могут быть обнаружены электрические силы, т. е. в котором могут быть построены силовые линии, носят название электрического поля. Сила, испытываемая единицей электричества в какой-либо точке этого поля, называется напряжением электрического поля в этой точке. Функция V обладает следующими свойствами: она однозначна, конечна, непрерывна. Её также можно задать так, чтобы она обращаалась в 0 в точках, отстоящих от данного распределения электричества на бесконечное расстояние. Потенциал сохраняет одну и ту же величину во всех точках какого-либо проводящего тела. Для всех точек земного шара, а также для всех проводников, металлически соединенных с землей, функция V равна 0 (при этом не обращается внимания на явление Вольты, о котором сообщено в статье Электризация). Обозначая через F величину электрической силы, испытываемой единицей положительного электричества в какой-нибудь точке на поверхности S, замыкающей собой часть пространства, и через ε - угол, образуемый направлением этой силы с внешней нормалью к поверхности S в той же точке, мы имеем
В этой формуле интеграл распространяется на всю поверхность S, a Q обозначает алгебраическую сумму количества электричества, заключающихся внутри замкнутой поверхности S. Равенство (4) выражает собой теорему, известную под названием теоремы Гаусса. Одновременно с Гауссом такое же равенство было получено Грином, почему некоторые авторы эту теорему называют теоремой Грина. Из теоремы Гаусса могут быть выведены как следствия,
здесь ρ обозначает объемную плотность электричества в точке (x, у, z);
такое уравнение относится ко всем точкам, в которых не имеется электричества
Здесь Δ - оператор Лапласа, n1 и n2 обозначают нормали в точке какой-либо поверхности, в которой поверхностная плотность электричества σ, нормали, проведенные в ту и в другую сторону от поверхности. Из теоремы Пуассона следует, что для проводящего тела, в котором во всех точках V = пост., должно быть ρ = 0. Поэтому выражение потенциала принимает вид
Из формулы, выражающей граничное условие, т. е. из формулы (7), следует, что на поверхности проводника
Причем n обозначает нормаль к этой поверхности, направленную от проводника внутрь изолирующей среды, прилегающей к этому проводнику. Из этой же формулы вывыводится
Здесь Fn обозначает силу, испытываемую единицей положительного электричества, находящегося в точке, бесконечно близко лежащей к поверхности проводника, имеющей в этом месте поверхностную плотность электричества, равную σ. Сила Fn направлена по нормали к поверхности в этом месте. Сила, испытываемая единицей положительного электричества, находящегося в самом электрическом слое на поверхности проводника и направленная по внешней нормали к этой поверхности, выражается через
Отсюда электрическое давление, испытываемое по направлению внешней нормали каждой единицей поверхности наэлектризованного проводника, выражается формулой
Приведенные уравнения и формулы дают возможность делать немало выводов, относящихся к вопросам, рассматриваемым в Э. Но все они могут быть заменены еще более общими, если воспользоваться тем, что содержится в теории электростатики, данной Максвеллом.
Электростатика Максвелла
Как уже упомянуто выше, Максвелл явился истолкователем идей Фарадея. Он облек эти идеи в математическую форму. Основание теории Максвелла заключается не в законе Кулона, а в принятии гипотезы, которая выражается в следующем равенстве:Здесь интеграл распространяется по какой угодно замкнутой поверхности S, F обозначает величину электрической силы, которую испытывает единица электричества в центре элемента этой поверхности dS, ε обозначает угол, образуемый этой силой с внешней нормалью к элементу поверхности dS, К обозначает диэлектрический коэффициент среды, прилегающей к элементу dS, и Q обозначает алгебраическую сумму количеств электричества, заключающихся внутри поверхности S. Следствиями выражения (13) являются нижеследующие уравнения:
Эти уравнения более общи, чем уравнения (5) и (7). Они относятся к случаю каких угодно изотропных изолирующих сред. Функция V, являющаяся общим интегралом уравнения (14) и удовлетворяющая вместе с этим уравнению (15) для всякой поверхности, которая отделяет собой две диэлектрические среды с диэлектрическими коэффициентами K 1 и K 2 , а также условию V = пост. для каждого, находящегося в рассматриваемом электрическом поле проводника, представляет собой потенциал в точке (x, у, z). Из выражения (13) также следует, что кажущееся взаимодействие двух зарядов q и q 1 , находящихся в двух точках, расположенных в однородной изотропной диэлектрической среде на расстоянии r друг от друга, может быть представлено формулой
Т. е. это взаимодействие обратно пропорционально квадрату расстояния, как это должно быть согласно закону Кулона. Из уравнения (15) мы получаем для проводника:
Формулы эти более общие, чем вышеприведенные (9), (10) и (12).
представляет собой выражение потока электрической индукции через элемент dS. Проведя через все точки контура элемента dS линии, совпадающие с направлениями F в этих точках, мы получаем (для изотропной диэлектрической среды) трубку индукции. Для всех сечений такой трубки индукции, не заключающей внутри себя электричества, должно быть, как это следует из уравнения (14),
KFCos ε dS = пост.
Не трудно доказать, что если в какой-либо системе тел электрические заряды находятся в равновесии, когда плотности электричества соответственно суть σ1 и ρ1 или σ 2 и ρ 2 , то заряды будут в равновесии и тогда, когда плотности будут σ = σ 1 + σ 2 и ρ = ρ 1 + ρ 2 (принцип сложения зарядов, находящихся в равновесии). Равным образом легко доказать, что при данных условиях может быть только одно распределение электричества в телах, составляющих собой какую-либо систему.
Весьма важным оказывается свойство проводящей замкнутой поверхности, находящейся в соединении с землей. Такая замкнутая поверхность является экраном, защитой для всего пространства, заключенного внympu неё, от влияния каких угодно электрических зарядов, расположенных с внешней стороны поверхности. Вследствие этого электрометры и другие измерительные электрические приборы окружаются обыкновенно металлическими футлярами, соединяемыми с землей. Опыты показывают, что для таких электрич. экранов нет надобности употреблять сплошного металла, вполне достаточно эти экраны устраивать из металлических сеток или даже металлических решеток.
Система наэлектризованных тел обладает энергией, т. е. обладает способностью совершить определенную работу при полной потере своего электрического состояния. B электростатике выводится следующее выражение для энергии системы наэлектризованных тел:
В этой формуле Q и V обозначают соответственно какое-либо количество электричества в данной системе и потенциал в том месте, где находится это количество; знак ∑ указывает, что надо взять сумму произведений VQ для всех количеств Q данной системы. Если система тел представляет собой систему проводников, то для каждого такого проводника потенциал имеет одну и ту же величину во всех точках этого проводника, а потому в данном случае выражение для энергии получает вид:
Здесь 1, 2.. n суть значки разных проводников, входящих в состав системы. Это выражение может быть заменено другими, а именно, электрическая энергия системы проводящих тел может быть представлена или в зависимости от зарядов этих тел, или же в зависимости от потенциалов их, т. е. для этой энергии могут быть применены выражения:
В этих выражениях различные коэффициенты α и β зависят от параметров, определяющих собой положения проводящих тел в данной системе, а также формы и размеры их. При этом коэффициенты β с двумя одинаковыми значками, как то β11, β22, β33 и т. д. представляют собой электроемкости (см. Электроемкость) тел, отмеченных этими значками, коэффициенты β с двумя различными значками, как то β12, β23, β24, и т. д., представляют собой коэффициенты взаимной индукции двух тел, значки которых стоят у данного коэффициента. Имея выражение электрической энергии, мы получаем выражение для силы, какую испытывает какое-либо тело, значок которого i, и от действия которой параметр si, служащий для определения положения этого тела, получает приращение. Выражение этой силы будет
Электрическая энергия может быть представлена еще иначе, а именно, через
В этой формуле интегрирование распространяется по всему беспредельному пространству, F обозначает величину электрической силы, испытываемой единицей положительного электричества в точке (x, у, z), т. е. напряжение электрического поля в этой точке, а K обозначает диэлектрический коэффициент в этой же точке. При таком выражении электрической энергии системы проводящих тел эту энергию можно рассматривать распределенной только в изолирующих средах, причем на долю элемента dxdyds диэлектрика приходится энергий
Выражение (26) вполне соответствует взглядам на электрические процессы, которые были развиваемы Фарадеем и Максвеллом.
Чрезвычайно важной формулой в электростатике является формула Грина, а именно:В этой формуле оба тройные интеграла распространяются на весь объем какого-либо пространства А, двойные - на все поверхности, ограничивающие это пространство, ∆V и ∆U обозначают суммы вторых производных от функций V и U по x, у, z; n - нормаль к элементу dS ограничивающей поверхности, направленную внутрь пространства A.
Примеры
Пример 1Как частный случай формулы Грина получается формула, выражающая вышеприведенную теорему Гаусса. В Энциклопедическом Словаре не уместно касаться вопросов о законах распределения электричества на различных телах. Эти вопросы представляют собой весьма трудные задачи математической физики и для решения таких задач употребляются различные способы. Приведем здесь только для одного тела, а именно, для эллипсоида с полуосями а, b, с, выражение поверхностной плотности электричества σ в точке (x, у, z). Мы находим:
Здесь Q обозначает все количество электричества, находящееся на поверхности этого эллипсоида. Потенциал такого эллипсоида в какой-нибудь точке его поверхности, когда вокруг эллипсоида находится однородная изотропная изолирующая среда с диэлектрическим коэффициентом K, выражается через
Электроемкость эллипсоида получится из формулы
Пример 2
Пользуясь уравнением (14), полагая только в нем ρ = 0 и K = пост., и формулой (17), мы можем найти выражение для электроемкости плоского конденсатора с охранным кольцом и охранной коробкой, изолирующей слой в котором имеет диэлектрический коэффициент K. Это выражение имеет вид
Здесь S обозначает величину собирательной поверхности конденсатора, D - толщину изолирующего слоя его. Для конденсатора без охранного кольца и охранной коробки формула (28) будет давать только приближенное выражение электроемкости. Для электроемкости такого конденсатора дана формула Кирхгофом. И даже для конденсатора с охранными кольцом и коробкой формула (29) не представляет вполне строгого выражения электроемкости. Максвелл указал ту поправку, какую надо сделать в этой формуле, чтобы получить более строгий результат.
Энергия плоского конденсатора (с охранными кольцом и коробкой) выражается через
Здесь V1 и V2 суть потенциалы проводящих поверхностей конденсатора.
Пример 3
Для сферического конденсатора получается выражение электроемкости:
В котором R 1 и R 2 обозначают соответственно радиусы внутренней и внешней проводящей поверхности конденсатора. При помощи выражения для электрической энергии (формула 22) нетрудно устанавливается теория абсолютного и квадрантного электрометров
Нахождение величины диэлектрического коэффициента K какого-либо вещества, коэффициента, входящего почти во все формулы, с которыми приходится иметь дело в электростатике, может быть произведено весьма различными способами. Наиболее употребительные способы суть нижеследующие.
1) Сравнение электро емкостей двух конденсаторов, имеющих одинаковые размеры и форму, но у которых у одного изолирующим слоем является слой воздуха, у другого - слой испытуемого диэлектрика.
2) Сравнение притяжений между поверхностями конденсатора, когда этим поверхностям сообщается определенная разность потенциалов, но в одном случае между ними находится воздух (сила притяжения = F 0), в другом случае - испытуемый жидкий изолятор (сила притяжения = F). Диэлектрический коэффициент находится по формуле:
3) Наблюдения электрических волн (см. Электрические колебания), распространяющихся вдоль проволок. По теория Максвелла скорость распространения электрических волн вдоль проволок выражается формулой
В которой K обозначает диэлектрический коэффициент среды, окружающей собой проволоку, μ обозначает магнитную проницаемость этой среды. Можно положить для огромного большинства тел μ = 1, а потому получается
Обыкновенно сравнивают длины стоячих электрических волн, возникающих в частях одной и той же проволоки, находящихся в воздухе и в испытуемом диэлектрике (жидком). Определив эти длины λ 0 и λ, получают K = λ 0 2 / λ 2. По теории Максвелла следует, что при возбуждении электрического поля в каком-либо изолирующем веществе внутри этого вещества возникают особые деформации. Вдоль трубок индукции изолирующая среда является поляризованной. В ней возникают электрические смещения, которые можно уподобить перемещениям положительного электричества по направлению осей этих трубок, причем через каждое поперечное сечение трубки проходит количество электричества, равное
Теория Максвелла дает возможность найти выражения тех внутренних сил (сил натяжения и давления), которые являются в диэлектриках при возбуждении в них электрического поля. Этот вопрос был впервые рассмотрен самим Максвеллом, а позже и более обстоятельно Гельмгольцем . Дальнейшее развитие теории этого вопроса и тесно соединенной с этим теории электрострикции (т. е. теории, рассматривающей явления, зависящие от возникновения особых напряжений в диэлектриках при возбуждении в них электрического поля) принадлежит работам Лорберга, Кирхгофа, Дюгема, Н. Н. Шиллера и некоторых др.
Граничные условия
Закончим краткое изложение наиболее существенного из отдела электрострикции рассмотрением вопроса о преломлении трубок индукции. Представим себе в электрическом поле два диэлектрика, отделяющихся друг от друга какой-нибудь поверхностью S, с диэлектрическими коэффициентами К 1 и К 2 . Пусть в точках Р 1 и Р 2 , расположенных бесконечно близко к поверхности S по ту и по другую её сторону, величины потенциалов выражаются через V 1 и V 2 , а величины сил, испытываемых помещенной в этих точках единицей положительного электричества чрез F 1 и F 2 . Тогда для точки Р, лежащей на самой поверхности S, должно быть V 1 = V 2 ,
если ds представляет бесконечно малое перемещение по линии пересечения касательной плоскости к поверхности S в точке Р с плоскостью, проходящей через нормаль к поверхности в этой точке и через направление электрической силы в ней. С другой стороны, должно быть
Обозначим через ε 2 угол, составляемый силой F 2 с нормалью n 2 (внутрь второго диэлектрика), и через ε 1 угол, составляемый силой F 1 с той же нормалью n 2 Тогда, пользуясь формулами (31) и (30), найдем
Итак, на поверхности, отделяющей друг от друга два диэлектрика, электрическая сила претерпевает изменение в своем направлении подобно световому лучу, входящему из одной среды в другую. Это следствие теории оправдывается на опыте.
Материал из Википедии - свободной энциклопедии
