Гармоническая линеаризация. Метод гармонической линеаризации: Методические указания к лабораторной работе

Проиллюстрируем вычисление коэффициентов гармонической линеаризации на нескольких примерах: сначала для симметричных колебаний, а затем для несимметричных. Предварительно заметим, что если нечетно-симметричная нелинейность F(x) однозначна, то, согласно (4.11) и (4.10), получаем

причем при вычислении q (4.11) можно ограничиться интегрированием на четверти периода, учетверив результат, а именно

Для петлевой нелинейности F(x) (нечетно-симметричной) будет иметь место полное выражение (4.10)

причем можно пользоваться формулами

т. е. удвоением результата интегрирования на полупериоде.

Пример 1. Исследуем кубическую нелинейность (рис. 4.4, я):

Зависимость q(a) показана на рис. 4.4, б. Из рис. 4.4, а видно, что при заданной амплитуде я прямая q(a)x осредняет криволинейную зависимость F(x) на данном

участке -а£ х £. а. Естественно, что крутизна q(a) на­клона этой осредняющей прямой q{a}x увеличивается с увеличением амплитуды а (для кубической характе­ристики это увеличение происходит по квадратичному закону).

Пример 2. Исследуем петлевую релейную характе­ристику (рис. 4.5, а). На рис. 4.5,6 представлена подын­тегральная функция F(a sin y) для формул (4.21). Переключение реле имеет место при ½х ½= b, Поэтому в момент переключения величина y1 определяется выражением sin y1= b/а. По формулам (4.21) получаем (для a ³b)

На рис. 4.5, б изображены графики q(а) и q"(a). Первый из них показывает изменение крутизны наклона осредняющей прямой q(а )x с изменением а (см. рис. 4.5, а). Естественно, что q(a )à0 при аॠпри, так как сигнал на выходе остается постоянным (F(x )=c)при любом неограниченном увеличении входного сигна­ла х. Из физических соображений ясно также, почему q" <0. Это коэффициент при производной в формуле (4.20). Положительный знак давал бы опережение сиг­нала на выходе, в то время как гистерезисная петля дает запаздывание. Поэтому естественно, что q" < 0. Абсолют­ное значение q" уменьшается с увеличением амплиту­ды a, так как ясно, что петля будет занимать тем мень­шую часть «рабочего участка» характеристики F(x ), чем больше амплитуда колебаний переменной х.

Амплитудно-фазовая характеристика такой нелиней­ности (рис. 4.5, а), согласно (4.13). представляется в виде

причем амплитуда и фаза первой гармоники на выхода нелинейности имеют соответственно вид

где q и q" определены выше (рис. 4.5, б). Следовательно, гармоническая линеаризация переводит нелинейное ко­ординатное запаздывание (гистерезисную петлю) в экви­валентное запаздывание по фазе, характерное для ли­нейных систем, по с существенным отличием-зависи­мостью фазового сдвига от амплитуды входных колеба­ний, чего нет в линейных системах.

Пример 3. Исследуем однозначные релейные ха­рактеристики (рис. 4.6, а, в). Аналогично предыдущему получаем соответственно

что изображено на рис. 4.6, б, а.

Пример 4. Исследуем характеристику с зоной нечувствительности, линейным участком и насыщением (рис. 4.7, а). Здесь q" = 0, а коэффициент q (a ) имеет два варианта значений в соответствии срис. 4.7, б, где для них построена F (a sin y):

1) при b1 £ а £ b2, согласно (4.19), имеем

что сучетом соотношения a sin y1 = b 1 дает

2) при а ³ b2

что с учетом соотношения a sin y2 = b2 даёт

Графически результат представлен на рис. 4.7, а.

Пример 5. Как частные случаи, соответствующие коэффициенты q(a) для двух характеристик (рис. 4,8, а, б) равны

что изображено графически на рис. 4.8, б, г. При этом для характеристики с насыщением (рис. 4.8, а) имеем q= k при 0 £ a £ b.

Покажем теперь примеры вычисления коэффициен­тов гармонической линеаризации для несимметричных колебаний при тех же нелинейностях.

Пример 6. Для случая кубической нелинейности F(x ) = kx 3 по формуле (4.16) имеем

а по формулам (4.17)

Пример 7. Для петлевой релейной характеристики (рис. 4.5, а) по тем же формулам имеем

Пример 8. Для характеристики с зоной нечувстви­тельности (рис. 4.1:1) будут иметь место те же выраже­ния F° и q. Графики их представлены на рис. 4.9, а, б. При этом q" == 0. Для идеальной же релейной характе­ристики (рис. 4.10) получаем

что изображено на рис. 4.10, а и б.

Пример 9. Для характеристики с линейным участ­ком ц насыщением (рис.4.11,а) при а ³ b+½x 0 ½ имеем

Эти зависимости представлены в виде графиков на рис. 4.11, б, в.

Пример 10. Для несимметричной характеристики

(рис. 4. 12, а) по формуле (4.l6) находим

а по формулам (4.17)

Результаты изображены графически на рис. 4.12, б и в.

Полученные в этих примерах выражения и графики коэффициентов гармонической линеаризации будут ис­пользованы ниже при решении задач по исследованию

автоколебаний, вынужденных колебаний и процессов управления.

Базируясь на свойстве фильтра линейной части системы (лекция 12), ищем периодическое решение нелинейной системы (рис. 4.21) на входе нелинейного элемента приближенно в виде

х = a sin wt (4.50)

с неизвестными а и w. Задана форма нелинейности у= F(x ) и передаточная функция линейной части

Производится гармоническая линеаризация нелинейности

что приводит к передаточной функции

Амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой цепи системы получает вид

Периодическое решение линеаризованной системы (4.50) получается при наличии в характеристическом уравнении замкнутой системы пары чисто мнимых корней.

А это по критерию Найквиста соответствует прохождению W (j w) через точку -1. Следо­вательно, периодическое реше­ние (4.50) определяется равен­ством

Уравнение (4.51) определяет искомые амплитуду а и частоту w периодического решения. Это уравнение ре­шается графически следующим образом. На комплексной плоскости (U, V) вычерчивается амплитудно-фазовая частотная характеристика линейной части Wл(j w)(рис. 4.22), а также обратная амплитудно-фазовая ха­рактеристика нелинейности с обратным знаком -1/ Wн(a ). Точка В их пересечения (рис. 4.22) и определяет величи­ны а и w, причем значение а отсчитывается по кривой -1/ Wн (a), а значение w - по кривой Wл (jw).

Вместо этого можно пользоваться двумя скалярными уравнениями, вытекающими из (4.51) и (4.52):

которые также определяют две искомые величины а и w.

Последними двумя уравнениями удобнее пользоваться в логарифмическом масштабе, привлекая логарифмические­

частотные характери­стики линейной части. Тогда вместо (4.53) и (4.54) будем иметь следующие два урав­нения:

На рис. 4.23 слева изображены графики левых частей уравнений (4.55) и (4.56), а справа-правых частей этих уравнений. При этом по оси абсцисс слева часто­та w откладывается, как обычно, в логарифмическом масштабе, а справа-амплитуда а в натуральном масш­табе. Решением этих уравнений будут такие значения а и w, чтобы при них одновременно соблюдались оба ра­венства: (4.55) и (4.56). Такое решение показано на рис. 4.23 тонкими линиями в виде прямоугольника.

Очевидно, что сразу угадать это решение не удастся. Поэтому делаются попытки, показанные штриховыми линиями. Последние точки этих пробных прямоугольников М1 и М2 не попадают на фазовую характеристику нели­нейности. По если они расположены по обе стороны ха­рактеристики, как на рис. 4.23, то решение находится интерполяцией - путем проведения прямой ММ1.

Нахождение периодического решения.упрощается а случае однозначной нелинейности F(х ). Тогда q" = 0 и уравнения (4.55) и (4.56) принимают вид

Решение показано на рис. 4.24.

Рис. 4.24.

После определения периодического решения надо ис­следовать его устойчивость. Как уже говорилось, перио­дическое решение имеет место в случае, когда амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой цепи

проходит через точку -1. Дадим амплитуде отклонение Dа . Система будет возвращаться к периодическому ре­шению, если при Dа > 0 колебания затухают, а при Dа < 0 - расходятся. Следовательно, при Dа > 0 харак­теристика W(jw, а ) дол­жна деформироваться (рис. 4.25) так, чтобы при Dа > 0 критерий устойчивости Найквиста соблюдался, а при Dа < 0 - нарушался.

Итак требуется, что­бы на данной часто­те w было

Отсюда следует, что на рис. 4.22 положительный отсчет амплитуды а вдоль кривой -1/Wн (а ) должен быть на­правлен изнутри вовне через кривую Wл (jw), как там и показано стрелкой. В противном случае периодическое решение неустойчиво.

Рассмотрим примеры.

Пусть в следящей системе (рис. 4.13, а) усилитель имеет релейную характеристику (рис. 4.17, а). Па рис. 4.17, б для нее показан график коэффициента гар­монической линеаризации q(а ), причем q’(а ) =0. Для определения периодического решения частотным спосо­бом, согласно рис. 4.22, надо исследовать выражение

Из формулы (4.24) получаем для данной нелинейности

График этой функции изображен па рис. 4.26.

Передаточная функция линейной части имеет вид

Амплитудно-фазовая характеристика для нее приведена на рис. 4.27. Функция же -1/ Wн (а ), являясь в данном слу­чае вещественной (рис. 4.26), укладывается вся на отрица­тельной части вещественной оси (рис. 4.27). При этом на участке изменения амплитуды b £ a £ b амплитуда отсчи­тывается слева извне внутрь кривой Wл(jw), а на участке а > b - в обратную сторону. Следовательно, первая точка пересечения (а 1) дает неустой­чивое периодическое решение, а вторая (а 2) - устойчивое (ав­токолебания). Это согласуется с прежним решением (пример 2 лекция 15, 16).

Рассмотрим также случай петлевой характеристики реле (рис. 4.28, а) в той же следящей системе (рис. 4.13, а). Амплитудно-фазовая частотная характе­ристика линейной части та же (рис. 4.28, б). Выражение же для кривой –1/Wн(а ), согласно (4.52) и (4.23), при­нимает вид

Это-прямая, параллельная оси абсцисс (рис. 4.28, б ), с отсчетом амплитуды а справа налево. Пересечение даст устойчивое периодическое решение (автоколебания). Чтобы получить графики зависимости амплитуды и частоты

от k л, представленные на рис. 4.20, нужно на рис. 4.28 построить серию кривых Wл(jw) для каждой величины k л и найти в их точках пересечения с прямой –1/Wн(а ) соответствующие значения а и w.

Назначение метода гармонической линеаризации .

Идея метода гармонической линеаризации была предложена в 1934г. Н. М. Крыловым и Н. Н. Боголюбовым. Применительно к системам автоматического управления этот метод разработан Л. С. Гольдфарбом и Е. П. Поповым. Другие названия этого ме­тода и его модификаций - метод гармонического баланса, метод описывающих функций, метод эквивалентной линеаризации.

Метод гармонической линеаризации - это метод исследова­ния автоколебаний. Он позволяет определять условия существования и параметры возможных автоколебаний в нелинейных си­стемах.

Знание параметров автоколебаний позволяет представить картину возможных процессов в системе и, в частности, определить условия устойчивости. Предположим, например, что в результате исследования автоколебаний в некоторой нелинейной системе мы получили зависимость амплитуды этих автоколебаний А от коэффициента передачи k линейной части системы, показанную на рис.12.1, и знаем, что автоколебания устойчивы.

Из графика следует, что при большом значении коэффициента передачи k, когда k > k кр, в системе существуют автоколебания. Их амплитуда уменьшается до нуля при уменьшении коэффициента передачи k до k кр. На рис.12.1 стрелками условно показан характер переходных процессов при разных значениях k : при k > k кр переходный процесс, вызванный начальным отклонением, стягивается к автоколебаниям. Из рисунка видно, что при k < k кр, система оказывается устойчивой. Таким образом, k кр – это критическое по условию устойчивости значение коэффициента передачи. Его превышение приводит к тому, что исходный режим системы становится неустойчивым и в ней возникают автоколебания. Следовательно, знание условий существования автоколебаний в системе позволяет определить и условия устойчивости.

Идея гармонической линеаризации.

Рассмотрим нелинейную систему, схема которой представлена на рис.12.2, а. Система состоит из линейной части с передаточной функцией W л (s ) и нелинейного звена НЛ с конкретно заданной характеристикой . Звено с коэффициентом - 1 показывает, что обратная связь в системе отрицательна. Полагаем, что в системе существуют автоколебания, амплитуду и частоту которых мы хотим найти. В рассматриваемом режиме входная величина Х нелинейного звена и выходная Y являются периодическими функциями времени.

Метод гармонической линеаризации основан на nредnоложении, что колебания на входе нелинейного звена являются синусоидальны.ми ,т. е. что

, (12.1)

где А – амплитуда и - частота этих автоколебаний, а - возможная в общем случае постоянная составляющая, когда автоколебания несимметричны.

В действительности автоколебания в нелинейных системах всегда несинусоидальны вследствие искажения их формы нели­нейным звеном. Поэтому указанное исходное предположение озна­чает, что метод гармонической линеаризации является принципиально приближенным и область его применения ограничена случаями, когда автоколебания на входе нели­нейного звена достаточно близки к синусоидальным. Для того чтобы это имело место, линейная часть системы должна не пропу­скать высших гармоник автоколебаний, т. е. являться фильтром нижних частот . Последнее иллюстрируется рис. 12.2, б. Если, например, частота автоколебаний равна , то линейная часть с показанной на рис. 12.2, б АЧХ будет играть роль фильтра нижних частот для этих колебаний, так как уже вторая гармоника, частота которой равна 2 , практически не пройдет на вход нелинейного звена. Следовательно, в этом случае метод гармонической линеаризации применим.

Если частота автоколебаний равна , линейная часть будет свободно пропускать вторую, третью и другие гармоники автоколебаний. В этом случае нельзя утверждать, что колебания на входе нелинейного звена будут достаточно близки к синусоидальным, т.е. необходимая для применения метода гармонической линеаризации предпосылка не выполняется.

Для того чтобы установить, является ли линейная часть си­стемы фильтром нижних частот и тем самым определить примени­мость метода гармонической линеаризации, необходимо знать частоту автоколебаний. Однако ее можно узнать только в резуль­тате использования этого метода. Таким образом, пpимeнимocть метода гармонической лuнеарuзацuu прuходuтся определять уже в конце uсследованuя в порядке проверки.

Заметим при этом, что если в результате этой проверки гипо­теза о том, что линейная часть системы играет роль фильтра ниж­них частот, не подтверждается, это не означает еще неверности полученных результатов, хотя, разумеется, ставит их под сом­нение и требует дополнительной проверки каким-либо другим методом.

Итак, предположив, что линейная часть системы есть фильтр нижних частот, считаем, что автоколебания на входе нелинейного звена синусоидальны, т.е имеют вид (12.1). Колебания на выходе этого звена будут при этом уже несинусоидальными вследствие их искажения нелинейностью. В качестве примера на рис. 12.3 построена кривая на выходе нелинейного звена для определенной амплитуды входного чисто синусоидального сигнала по характеристике звена, приведенной там же.

Рис.12.3. Прохождение гармонического колебания через нелинейное звено.

Однако, поскольку мы считаем, что линейная часть системы пропускает только основную гармонику автоколебаний, имеет смысл интересоваться только этой гармоникой на выходе нелинейного звена. Поэтому разложим выходные колебания в ряд Фурье и отбросим высшие гармоники. В результате получим:

;

; (12.3)

;

.

Перепишем выражение (12.2) в более удобном для последующего использования виде, подставив в него получающиеся из (12.1) следующие выражения для и :

Подставив эти выражения в (12.2), будем иметь:

(12.4)

. (12.5)

Здесь введены обозначения:

. (12.6)

Дифференциальное уравнение (12.5) справедливо для синусоидального входного сигнала (12.1) и определяет выходной сигнал нелинейного звена без учета высших гармоник.

Коэффициенты в соответствии с выражениями (12.3) для коэффициентов Фурье являются функциями постоянной составляющей , амплитуды А и частоты автоколебаний на входе нелинейного звена. При фиксированных А , и уравнение (12.5) является линейным. Таким образом, если отбросить высшие гармоники, то для фиксированного гармонического сигнала исходное нелинейное звено может быть заменено эквивалентным линейным, описываемым уравнением (12.5). Эта замена и называется гармонической линеаризацией .

На рис. 12.4 условно изображена схема этого звена, состоящая из двух параллельных звеньев.

Рис. 12.4. Эквивалентное линейное звено, полученное в результате гармонической линеаризации.

Одно звено () пропускает постоянную составляющую, а другое – только синусоидальную составляющую автоколебаний.

Коэффициенты называются коэффициентами гармонической линеаризации или гармоническими коэффициентами передачи : - коэффициент передачи постоянной составляющей, а - два коэффициента передачи синусоидальной составляющей автоколебаний. Эти коэффициенты определяются нелинейностью и значениями и по формулам (12.3). Существуют определенные по этим формулам готовые выра­жения для для ряда типовых нелинейных звеньев. Для этих и вообще всех безынерционных нелинейных звеньев вели­чины не зависят от и являются функциями только амплитуды А и .

Метод гармонической линеаризации (гармонического баланса ) позволяет определить условия существования и параметры возможных автоколебаний в нелинейных САУ. Автоколебания определяются предельными циклами в фазовом пространстве систем. Предельные циклы разделяют пространство (в общем случае - многомерное ) на области затухающих и расходящихся процессов. В результате расчета параметров автоколебаний можно сделать заключение о их допустимости для данной системы или о необходимости изменения параметров системы.

Метод позволяет:

Определить условия устойчивости нелинейной системы;

Найти частоту и амплитуду свободных колебаний системы;

Синтезировать корректирующие цепи, для обеспечения требуемых параметров автоколебаний;

Исследовать вынужденные колебания и оценивать качество переходных процессов в нелинейных САУ.

Условия применимости метода гармонической линеаризации.

1) При использовании метода предполагается, что линейная часть системы устойчива или нейтральна.

2) Сигнал на входе нелинейного звена близок по форме к гармоническому сигналу. Это положение требует пояснений.

На рис.1 представлены структурные схемы нелинейной САУ. Схема состоит из последовательно соединенных звеньев: нелинейного звена y=F(x) и линейно-

го, которое описывается дифференциальным уравнением

При y = F(g - x) = g - x получим уравнение движения линейной системы.

Рассмотрим свободное движение, т.е. при g(t) º 0. Тогда,

В случае, когда в системе существуют автоколебания, свободное движение системы является периодическим. Непериодическое движение с течением времени оканчивается остановкой системы к некотором конечном положении (обычно, на специально предусмотренном ограничителе).

При любой форме периодического сигнала на входе нелинейного элемента сигнал на его выходе будет содержать кроме основной частоты высшие гармоники. Предположение о том, что сигнал на входе нелинейной части системы можно считать гармоническим, т.е., что

x(t)@ a×sin(wt),

где w=1/T, T - период свободных колебаний системы, равносильно предположению о том, что линейная часть системы эффективно фильтрует высшие гармоники сигнала y(t) = F(x (t)).

В общем случае при действии на входе нелинейного элемента гармонического сигнала x(t) сигнал на выходе может быть преобразован по Фурье:

Коэффициенты ряда Фурье

Для упрощения выкладок положим C 0 =0, т.е., что функция F(x) симметрична относительно начала координат. Такое ограничение не обязательно и сделано анализа. Появление коэффициентов C k ¹ 0 означает, что, в общем случае нелинейное преобразование сигнала сопровождается и фазовыми сдвигами преобразуемого сигнала. В частности, это имеет место в нелинейностях с неоднозначными характеристиками (с различного рода гистерезисными петлями), причем как запаздывание так и, в некоторых случаях, опережение по фазе .

Предположение об эффективной фильтрации означает, что амплитуды высших гармоник на выходе линейной части системы малы, то есть

Выполнению этого условия способствует то, что во многих случаях амплитуды гармоник уже непосредственно на выходе нелинейности оказываются существенно меньше амплитуды первой гармоники. Например, на выходе идеального реле при гармоническом сигнале на входе

y(t)=F(с×sin(wt))=a×sign(sin(wt))

четные гармоники отсутствуют, а амплитуда третьей гармоники в три раза меньше амплитуды первой гармоники

Сделаем оценку степени подавления высших гармоник сигнала в линейной части САУ. Для этого сделаем ряд предположений.

1) Частота свободных колебаний САУ приблизительно равна частоте среза ее линейной части. Отметим, что частота свободных колебаний нелинейной САУ может существенно отличаться от частоты свободных колебаний линейной системы так, что это допущение не всегда корректно .

2) Показатель колебательности САУ примем равным M=1.1.

3) ЛАХ в окрестностях частоты среза (w с) имеет наклон -20 дБ/дек. Границы этого участка ЛАХ связаны с показателем колебательности соотношениями

4) Частота w max является сопрягающей с участком ЛФХ, так что при w > w max наклон ЛАХ не менее минус 40 дБ/дек.

5) Нелинейность - идеальное реле с характеристикой y = sign(x) так, что на ее выходе нелинейности будут присутствовать только нечетные гармоники.

Частоты третьей гармоники w 3 = 3w c , пятой w 5 = 5w с,

lgw 3 = 0.48+lgw c ,

lgw 5 = 0.7+lgw c .

Частота w max = 1.91w с, lgw max = 0.28+lgw c . Сопрягающая частота отстоит от частоты среза на 0.28 декады.

Уменьшение амплитуд высших гармоник сигнала при их прохождении через линейную часть системы составит для третьей гармоники

L 3 = -0.28×20-(0.48-0.28)×40 = -13.6 дБ, то есть в 4.8 раза,

для пятой - L 5 = -0.28×20-(0.7-0.28)×40 = -22.4 дБ, то есть в 13 раз.

Следовательно, сигнал на выходе линейной части окажется близким к гармоническому

Это эквивалентно предположению, что система является низкочастотным фильтром.

Гармоническая линеаризация нелинейных элементов. Этот метод используется для исследования нелинейных систем с линейной частью выше третьего порядка. В большинстве систем переходной процесс представляет собой затухающие колебания, поэтому на входе нелинейного элемента по главной обратной связи (ГОС) передаётся периодический сигнал с медленно меняющейся амплитудой и при наличии входного сигнала вместе с постоянной составляющей.

Будем считать, что на входе нелинейного элемента за некоторый малый начальный промежуток времени амплитуда и частота не измены или они соответствуют амплитуде и частоте автоколебаний системы. На выходе НЭ получим периодическую функцию, которую можно разложить в ряд Фурье. При исследовании нелинейных систем чаще всего используют только первую гармоническую составляющую, т.к. в большинстве случаев линейная часть системы является фильтром низких частот. Но для того что бы проверить это и возможности применимости этого метода исследований необходимо определить частоту автоколебаний в системе, по которой в дальнейшем определить способность линейной части отфильтровывать высшие гармоники. Для этого строят АЧХ линейной части (ЛЧ).

Пусть ЛЧ системы является фильтром НЧ, и будем считать, что колебания на входе нелинейного элемента НЭ синусоидальные, тогда выходным сигналом НЭ:

где А к и В к – коэффициенты разложения Фурье нелинейной функции:

Если нелинейная характеристика симметрична и нейтральна, то коэффициент разложения ряда Фурье В к =0 и в разложении отсутствуют чётные гармоники:

Используя эти соотношения, выразим значение синуса и косинуса через входной сигнал

Подставим эти соотношения в уравнение для выхода НЭ и учтём только первую гармонику.

Запишем это уравнение в операторной форме:

Коэффициент А 0 – амплитуда автоколебаний; q – коэффициент гармонической линеаризации по синусоидальной составляющей, он зависит от амплитуды сигнала на входе НЭ; b 1 – коэффициент гармонической линеаризации по косинусоидальной составляющей; ω 0 – амплитуда автоколебаний.

При отсутствии постоянной составляющей на входе НЭ мы получим уравнение описания поведения НЭ:

Это уравнение гармонической линеаризации НЭ.

Гармонически линеаризованный НЭ можно представить в виде:

В этом случае мы можем вывести передаточную функцию для НЭ:

при отсутствии постоянной составляющей на входе.

Коэффициент А 0 – амплитуда автоколебаний;

q – коэффициент гармонической линеаризации по синусоидальной составляющей, он зависит от амплитуды сигнала на входе НЭ;

b 1 – коэффициент гармонической линеаризации по косинусоидальной составляющей;

ω 0 – амплитуда автоколебаний.

На линейную часть системы действует выходной сигнал с НЭ, который содержит весь спектр частот разложения Фурье. В силу принципа суперпозиции можно считать, что каждая гармоника действует на линейную часть независимо от другой. Поэтому на выходе системы могут устанавливаться периодические колебания, которые будут содержать весь спектр частот, соответствующих сигналу НЭ, но амплитуда каждой гармоники будет определяться коэффициентом преобразования правой части по рассмотренной гармонике ().

Подставив АЧХ линейной части можно установить соотношение изменения амплитуд для каждой гармоники и проверить, является ли линейная часть ФНЧ (можно ли отбросить высшие гармоники).

Если установлена частота автоколебаний и известны коэффициенты гармонической линеаризации НЭ, учитывающие только первую гармонику, то частота (частоте первой гармоники). Если то можно отбросить высшие гармоники и этот метод подходит. Т.е. можно ограничиться расчетом только одной гармоники на выходе НЭ. Тогда для однозначной нечётной характеристики НЭ будет иметь:

Для гистерезисной нечётной характеристики:

В первом случае НЭ эквивалентен безинерционному звену с некоторыми особенностями – коэффициент пропорциональности зависит от амплитуды или частоты сигнала на входе НЭ.

В случае с гистерезисной нелинейности звено эквивалентно форсирующему звену. Особенность этого способа линеаризации позволяет использовать для анализа нелинейной системы частотные методы линейной теории.

Министерство образования и науки Российской Федерации

Саратовский государственный технический университет

Балаковский институт техники, технологии и управления

Метод гармонической линеаризации

Методические указания к лабораторной работе по курсу «Теория автоматического управления» для студентов специальности 210100

Одобрено

редакционно –издательским советом

Балаковского интститута техники,

технологии и управления

Балаково 2004

Цель работы: Изучение нелинейных систем с помощью метода гармонической линеаризации (гармонического баланса), определение коэффициентов гармонической линеаризации для различных нелинейных звеньев. Получение навыков по нахождению параметров симметричных колебаний постоянной амплитуды и частоты (автоколебаний), используя алгебраический, частотный способы, а также с помощью критерия Михайлова.

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ

Метод гармонической линеаризации относится к приближенным методам исследования нелинейных систем. Он позволяет достаточно просто и с приемлемой точностью оценивать устойчивость нелинейных систем, определять частоту и амплитуду установившихся в системе колебаний.

Предполагается, что исследуемая нелинейная САУ может быть представлена в следующем виде

причем нелинейная часть должна иметь одну нелинейность

Эта нелинейность может быть как непрерывной, так и релейной, однозначной или гистерезисной.

Любую функцию или сигнал можно разложить в ряд по системе линейно-независимых, в частном случае ортонормированных функций. В качестве такого ортогонального ряда может быть использован ряд Фурье.

Разложим в ряд Фурье выходной сигнал нелинейной части системы

, (2)

здесь - коэффициенты Фурье,

,

,

. (3)

Таким образом, сигнал согласно (2) может быть представлен в виде бесконечной суммы гармоник с возрастающими частотами и т. д. Этот сигнал поступает на вход линейной части нелинейной системы.

Обозначим передаточную функцию линейной части

, (4)

причем степень полинома числителя должна быть меньше степени полинома знаменателя. В этом случае АЧХ линейной части имеет вид

где 1 - не имеет полюсов, 2 - имеет полюс или полюса.

Для АЧХ справедливо записать

Таким образом, линейная часть нелинейной системы является фильтром высоких частот. В этом случае линейная часть будет пропускать без ослабления только низкие частоты, высокие же по мере роста частоты будут существенно ослабляться.

В методе гармонической линеаризации делается предположение о том, что линейная часть системы будет пропускать только постоянную составляющую сигнала и первую гармонику. Тогда сигнал на выходе линейной части будет иметь вид

Этот сигнал проходит по всему замкнутому контуру системы Рис.1 и на выходе нелинейного элемента без учета более высоких гармоник, согласно (2) имеем

. (7)

При исследовании нелинейных систем с помощью метода гармонической линеаризации возможны случаи симметричных и несимметричных колебаний. Рассмотрим случай симметричных колебаний. Здесь и.

Введем следующие обозначения

Подставив их в (7), получим . (8)

С учетом того, что

. (9)

Согласно (3) и (8) при

,

. (10)

Выражение (9) является гармонической линеаризацией нелинейности устанавливает линейную связь входной переменной и выходной при . Величины и называются коэффициентами гармонической линеаризации.

Необходимо отметить, что уравнение (9) является линейным для конкретных величин и (амплитуды и частоты гармонических колебаний в системе). Но в целом оно сохраняет нелинейные свойства, так как коэффициенты различны для различных и . Эта особенность и позволяет исследовать с помощью метода гармонической линеаризации свойства нелинейных систем [ Попов Е.П.].

В случае несимметричных колебаний гармоническая линеаризация нелинейности приводит к линейному уравнению

,

,

. (12)

Так же как и уравнение (9), линеаризованное уравнение (11) сохраняет свойства нелинейного элемента, так как коэффициенты гармонической линеаризации , , а так же постоянная составляющая зависят и от смещения и от амплитуды гармонических колебаний .

Уравнения (9) и (11) позволяют получить передаточные функции гармонически линеаризованных нелинейных элементов. Так для симметричных колебаний

, (13)

при этом частотная передаточная функция

зависит только от амплитуды и не зависит от частоты колебаний в системе.

Необходимо отметить, что если нечетно-симметричная нелинейность однозначна, то в случае симметричных колебаний в соответствии с (9) и (10) получим, что , (15)

(16)

и линеаризованная нелинейность имеет вид

Для неоднозначных нелинейностей (с гистерезисом) интеграл в выражении (16) не равен нулю, вследствие различия в поведении кривой при возрастании и убывании , поэтому справедливо полное выражение (9).

Найдем коэффициенты гармонической линеаризации для некоторых нелинейных характеристик. Пусть нелинейная характеристика имеет вид релейной характеристики с гистерезисом и зоной нечувствительности. Рассмотрим, как гармонические колебания проходят через нелинейный элемент с такой характеристикой.



При выполнении условия , то есть если амплитуда входного сигнала меньше зоны нечувствительности , то сигнал на выходе нелинейного элемента отсутствует. Если же амплитуда , то реле переключается в точках A, B, C и D. Обозначим и .

,

. (18)

При вычислении коэффициентов гармонической линеаризации следует иметь ввиду, что при симметричных нелинейных характеристиках интегралы в выражениях (10) находятся на полупериоде (0, ) с последующим увеличением результата в два раза. Таким образом

,

. (19)

Для нелинейного элемента с релейной характеристикой и зоной нечувствительности

,

Для нелинейного элемента, имеющего релейную характеристику с гистерезисом

,

Аналогично могут быть получены коэффициенты гармонической линеаризации для других нелинейных характеристик.

Рассмотрим два способа определения симметричных колебаний постоянной амплитуды и частоты (автоколебаний) и устойчивости линеаризованных систем: алгебраический и частотный. Сначала рассмотрим алгебраический способ. Для замкнутой системы Рис.1 передаточная функция линейной части равна

.

Запишем гармонически линеаризованную передаточную функцию нелинейной части

.

Характеристической уравнение замкнутой системы имеет вид

. (22)

Если в исследуемой системе возникают автоколебания, то это говорит о наличии двух чисто мнимых корней в ее характеристическом уравнении. Поэтому подставим в характеристическое уравнение (22) значение корня .

. (23)

Представим

Получим два уравнения, определяющих искомую амплитуду и частоту

,

. (24)

Если в решении возможны вещественные положительные значения амплитуды и частоты , то в системе могут возникнуть автоколебания. Если же амплитуда и частота не имеет положительных значений, то автоколебания в системе невозможны.

Рассмотрим пример 1. Пусть исследуемая нелинейная система имеет вид

В этом примере нелинейный элемент представляет собой чувствительный элемент с релейной характеристикой, для которого коэффициенты гармонической линеаризации

Исполнительное устройство имеет передаточную функцию вида

Передаточная функция объекта регулирования равна

. (27)

Передаточная функция линейной части системы

, (28)

На основании (22), (25) и (28) запишем характеристическое уравнение замкнутой системы

, (29)

,

Пусть 1/сек, сек, сек, в.

В этом случае параметры периодического движения равны

7,071 ,

Рассмотрим способ определения параметров автоколебаний в линеаризованной САУ с помощью критерия Михайлова. Способ основан на том, что при возникновении автоколебаний система будет находиться на границе устойчивости и годограф Михайлова в этом случае будет проходить через начало координат.

В примере 2 найдем параметры автоколебаний при том условии, что нелинейный элемент в системе Рис.4 представляет собой чувствительный элемент, имеющий релейную характеристику с гистерезисом, для которого коэффициенты гармонической линеаризации

,

Линейная часть осталась неизменной.

Запишем характеристическое уравнение замкнутой системы

Годограф Михайлова получается заменой .

Задача заключается в том, чтобы подобрать такую амплитуду колебаний , при которой годограф пройдет через начало координат. Необходимо отметить, что при этом текущая частота , так как именно в этом случае кривая пройдет через начало координат.

Расчеты, проведенные в MATHCAD 7 при 1/сек, сек, сек, в и в, дали следующие результаты. На Рис.5 годограф Михайлова проходит через начало координат. Для повышения точности расчетов увеличим нужный фрагмент графика. На Рис.6 приведен фрагмент годографа, увеличенный в окрестности начала координат. Кривая проходит через начало координат при в.

Рис.5. Рис.6.

Частоту колебаний при этом можно найти из условия равенства нулю модуля . Для частот

значения модуля сведены в таблицу

Таким образом, частота колебаний 6,38 . Необходимо отметить, что точность расчетов легко может быть увеличена.

Полученное периодическое решение, определяемое значением амплитуды и частоты , необходимо исследовать на устойчивость. Если решение устойчиво, то в системе имеет место автоколебательный процесс (устойчивый предельный цикл). В противном случае предельный цикл будет неустойчивым.

Проще всего для исследования устойчивости периодического решения использовать критерий устойчивости Михайлова в графическом виде. Было установлено, что при кривая Михайлова проходит через начало координат. Если дать малое приращение , то кривая займет положение либо выше нуля, либо ниже. Так в последнем примере дадим приращение в, то есть и . Положение кривых Михайлова показано на Рис.7.

При кривая проходит выше нуля, что говорит об устойчивости системы и затухающем переходном процессе. При кривая Михайлова проходит ниже нуля, система является неустойчивой и переходный процесс является расходящимся. Таким образом периодическое решение с амплитудой в и частотой колебаний 6,38 устойчиво.

Для исследования устойчивости периодического решения может быть использован и аналитический критерий, получаемый из графического критерия Михайлова. Действительно, чтобы узнать пойдет ли кривая Михайлова при выше нуля достаточно посмотреть, куда будет перемещаться точка кривой Михайлова, которая при находится в начале координат.

Если разложить перемещение этой точки по координатным осям X и Y, то для устойчивости периодического решения вектор, определяемый проекциями на координатные оси

должен быть расположен справа от касательной MN к кривой Михайлова, если смотреть вдоль кривой в сторону возрастания , направление которой определяется проекциями

Аналитическое условие устойчивости запишем в следующем виде

В этом выражении частные производные берутся по текущему параметру кривой Михайлова

,

Необходимо отметить, что аналитическое выражение критерия устойчивости (31) справедливо только для систем не выше четвертого порядка, так как например для системы пятого порядка в начале координат условие (31) может выполняться, а система будет неустойчивой

Применим критерий (31) для исследования устойчивости периодического решения, полученного в примере 1.

,

,

, ,