Волны де Бройля. Соотношение неопределенностей Гейзенберга

Страница 1

Химические процессы сводятся к превращению молекул, т.е. к возникновению и разрушению связей между атомами. Поэтому важнейшей проблемой химии всегда была и остается проблема химического взаимодействия, тесно связанная со строением и свойствами вещества. Современная научная трактовка вопросов химического строения и природы химической связи дается квантовой

механикой

– теорией движения и взаимодействия микрочастиц (электронов, ядер и т.д.).

Одним из общих свойств материи является ее двойственность. Частицы материи обладают одновременно и корпускулярными и волновыми свойствами. Соотношение "волна – частица" таково, что с уменьшением массы частицы ее волновые свойства все более усиливаются, а корпускулярные – ослабевают. Когда же частица становится соизмеримой с атомом, наблюдаются типичные волновые явления. Одновременно оказывается невозможным описание движения и взаимодействия микрочастиц-волн законами движения тел с большой массой. Первый шаг в направлении создания волновой, или квантовой механики, законы которой объединяют и волновые, и корпускулярные свойства частиц, сделал де Бройлем (1924). Де Бройль высказал гипотезу, что с каждой материальной частицей связан некоторый периодический процесс. Если частица движется, то этот процесс представляется в виде распространяющейся волны, которую называют волной де Дройля

Или фазовой волной

Скорость частицы V связана с длиной волны λ соотношением де Бройля

где m – масса частицы (например, электрона);

h – постоянная Планка.

Уравнение (1) относится к свободному движению частиц. Если же частица движется в силовом поле, то связанные с ней волны описываются так называемой волновой функцией

Общий вид этой функции определил Шредингер (1926). Найдем волновую функцию следующим путем. Уравнение, характеризующее напряженность поля Еа плоской монохроматической волны света, можно записать в виде:

, (2)

где Еа0 – амплитуда волны;

ν – частота колебаний;

t – время;

λ – длина волны;

х – координата в направлении распространения волны.

Так как вторые производные от уравнения плоской волны (2), взятые по времени t и координате х, равны соответственно:

, (3)

, (4)

то

Подставляя λ=с/ V (с – скорость света), получаем волновое уравнение для плоской световой волны:

, (5)

Последующие преобразования основываются на предположениях, что распространение волн де Бройля описывается аналогичным уравнением, и что эти волны становятся стационарными и сферическими. Сначала представим, что по уравнению (5) изменяется значение новой функции ψ от координат (χ, y, z), имеющей смысл амплитуды некоторого колебательного процесса. Тогда, заменяя Еа на ψ, получим волновое уравнение в форме.

Элементы квантовой механики

Корпускулярно-волновой дуализм свойств частиц вещества.

§1 Волны де Бройля

В 1924г. Луи де Бройль (французский физик) пришел к выводу, что двойственность света должна быть распространена и на частицы вещества - электроны. Гипотеза де Бройля заключалась в том, что электрон, корпускулярные свойства которого (заряд, масса) изучаются давно, имеет еще и волновые свойства, т.е. при определенных условиях ведет себя как волна.

Количественные соотношения, связывающие корпускулярные и волновые свойства частиц, такие же, как для фотонов.

Идея де Бройля состояла в том, что это соотношение имеет универсальный характер, справедливый для любых волновых процессов. Любой частице, обладающей импульсом р, соответствует волна, длина которой вычисляется по формуле де Бройля.

- волна де Бройля

p = mv - импульс частицы, h - постоянная Планка.

Волны де Бройля , которые иногда называют электронными волнами, не являются электромагнитными.

В 1927 году Дэвиссон и Джермер (амер. физик) подтвердили гипотезу де Бройля обнаружив дифракцию электронов на кристалле никеля. Дифракционные максимумы соответствовали формуле Вульфа - Брэггов 2 dsin j = n l , а брэгговская длина волны оказалась в точности равной .

Дальнейшее подтверждение гипотезы де Бройля в опытах Л.С. Тартаковского и Г. Томсона, наблюдавших дифракционную картину при прохождении пучка быстрых электронов (Е » 50 кэВ) через фольгу из различных металлов. Затем была обнаружена дифракция нейтронов, протонов, атомных пучков и молекулярных пучков. Появились новые методы исследования вещества - нейтронография и электронография и возникла электронная оптика.

Макротела также должны обладать всеми свойствами (m = 1кг, следовательно, l = 6 . 6 2 · 1 0 - 3 1 м - невозможно обнаружить современными методами - поэтому макротела рассматриваются только как корпускулы).

§2 Свойства волн де Бройля

• Пусть частица массы m движется со скоростью v . Тогда фазовая скорость волн де Бройля

Т.к. c > v , то фазовая скорость волн де Бройля больше скорости света в вакууме (v ф может быть больше и может быть менше с, в отличие от групповой).

Групповая скорость

• следовательно, групповая скорость волн де Бройля равна скорости движения частицы.

Для фотона

т.е. групповая скорость равная скорости света.

§3 Соотношение неопределенностей Гейзенберга

Микрочастицы в одних случаях проявляют себя как волны, в других как корпускулы. К ним не применимы законы классической физики частиц и волн. В квантовой физике доказывается, что к микрочастице нельзя применять понятие траектории, но можно сказать, что частица находится в данном объеме пространства с некоторой вероятностью Р . Уменьшая объем, мы будем уменьшать вероятность обнаружить частицу в нем. Вероятностное описание траектории (или положения) частицы приводит к тому, что импульс и, следовательно, скорость частицы может быть определена с какой-то определенной точностью.

Далее, нельзя говорить о длине волны в данной точке пространства и отсюда следует, что если мы точно задаем координату Х, то мы ничего не сможем сказать о импульсе частицы, т.к. . Только рассматривая протяженный участок D C мы сможем определить импульс частицы. Чем больше D C , тем точнее D р и наоборот, чем меньше D C , тем больше неопределенность в нахождении D р .

Соотношение неопределенностей Гейзенберга устанавливает границу в одновременном определении точности канонически сопряженных величин, к которым относятся координата и импульс, энергия и время.

Соотношение неопределенностей Гейзенберга: произведение неопределенностей значений двух сопряженных величин не может быть по порядку величины меньше постоянной Планка h

(иногда записывают )

Таким образом. для микрочастицы не существует состояний, в которых её координата и импульс имели бы одновременно точные значения. Чем меньше неопределенность одной величины, тем больше неопределенность другой.

Соотношение неопределенностей является квантовым ограничением применимости классической механики к микрообъектам.

следовательно, чем больше m , тем меньше неопределенности в определении координаты и скорости. При m = 10 -12 кг , ? = 10 -6 и Δ x = 1% ?, Δv = 6,62·10 -14 м/с, т.е. не будет сказываться при всех скоростях, с которыми пылинки могут двигаться, т.е. для макротел их волновые свойства не играют никакой роли.

Пусть электрон движется в атоме водорода. Допустим Δ x » 1 0 -10 м (порядка размеров атома, т.е. электрон принадлежит данному атому). Тогда

Δv = 7,27· 1 0 6 м/с. По классической механике при движении по радиусу r » 0 , 5 · 1 0 - 1 0 м v = 2,3·10 -6 м/с. Т.е. неопределенность скорости на порядок больше величины скорости, следовательно, нельзя применять законы классической механики к микромиру.

Из соотношения следует, что система имеющая время жизни D t , не может быть охарактеризована определенным значением энергии. Разброс энергии возрастает с уменьшением среднего времени жизни. Следовательно, частота излученного фотона также должна иметь неопределенность D n = D E / h , т.е. спектральные линии будут иметь некоторую ширину n ± D E / h , будут размыты. Измерив ширину спектральной линии можно оценить порядок времени существования атома в возбужденном состоянии.

§4 Волновая функция и ее физический смысл

Дифракционная картина, наблюдающаяся для микрочастиц, характеризуется неодинаковым распределением потоков микрочастиц в различных направлениях - имеются минимумы и максимумы в других направлениях. Наличие максимумов в дифракционной картине означает, что в этих направлениях распределяются волны де Бройля с наибольшей интенсивностью. А интенсивность будет максимальной, если в этом направлении распространяется максимальное число частиц. Т.е. дифракционная картина для микрочастиц является проявлением статистической (вероятностной) закономерности в распределении частиц: где интенсивность волны де Бройля максимальная, там и частиц больше.

Волны де Бройля в квантовой механике рассматриваются как волны вероятности, т.е. вероятность обнаружить частицу в различных точках пространства меняется по волновому закону (т.е. ~ е - iωt ). Но для некоторых точек пространства такая вероятность будет отрицательной (т.е. частица не попадает в эту область). М. Борн (немецкий физик) предположил, что по волновому закону меняется не сама вероятность, а амплитуда вероятности, которую также называют волновой функцией или y -функцией (пси - функцией).

Волновая функция - функция координат и времени.

Квадрат модуля пси-функции определяет вероятность того, что частица будет обнаружена в пределах объема dV - физический смысл имеет не сама пси-функция, а квадрат ее модуля.

Ψ * - функция комплексно сопряженная с Ψ

(z = a + ib , z * = a - ib , z * - комплексно сопряженное)

Если частица находится в конечном объеме V , то возможность обнаружить ее в этом объеме равна 1, (достоверное событие)

Р = 1 Þ

В квантовой механике принимается, что Ψ и АΨ, где А = const , описывают одно и то же состояние частицы. Следовательно,

Условие нормировки

интеграл по , означает, что он вычисляется по безграничному объему (пронстранству).

y - функция должна быть

1) конечной (так как Р не может быть больше1),

2) однозначной (нельзя обнаружить частицу при неизменных условиях с вероятностью допустим 0,01 и 0,9, так как вероятность должна быть однозначной).

• непрерывной (следует из неприрывности пространства. Всегда имеется вероятность обнаружить частицу в разных точках пространства, но для разных точек она будет разная),
• Волновая функция удовлетворяет принципу суперпозиции : если система может находится в различных состояниях, описываемых волновыми функциями y 1 , y 2 ... y n , то она может находится в состоянии y , описываемой линейной комбинаций этих функций:

С n (n =1,2...) - любые числа.

С помощью волновой функции вычисляются средние значения любой физической величины частицы

§5 Уравнение Шредингера

Уравнение Шредингера, как и другие основные уравнения физики (уравнения Ньютона, Максвелла), не выводится, а постулируется. Его следует рассматривать как исходное основное предположение, справедливость которого доказывается тем, что все вытекающие из него следствия точно согласуются с экспериментальными данными.

(1)

Временное уравнение Шредингера.

Набла - оператор Лапласа

Потенциальная функция частицы в силовом поле,

Ψ(y , z , t ) - искомая функция

Если силовое поле, в котором движется частица, стационарно (т.е. не изменяется с течением времени), то функция U не зависит от времени и имеет смысл потенциальной энергии. В этом случае решение уравнения Шредингера (т.е. Ψ - функция) может быть представлено в виде произведения двух сомножителей - один зависит только от координат, другой - только от времени:

(2)

Е - полная энергия частицы, постоянная в случае стационарного поля.

Подставив (2) ® (1):

(3)

Уравнение Шредингера для стационарных состояний.

Имеется бесконечно много решений. Посредством наложения граничных условий отбирают решения, имеющие физический смысл.

Граничные условия:

Волновые функции должны быть регулярными , т.е.

1)конечными;

2) однозначными;

3) непрерывными.

Решения, удовлетворяющие уравнению Шредингера, называются собственными функциями, а соответствующие им значения энергии - собственными значениями энергии. Совокупность собственных значений называется спектром величины. Если Е n принимает дискретные значения, то спектр - дискретный , если непрерывные - сплошной или непрерывный .

§6 Движение свободной частицы

Частица называется свободной, если на нее не действуют силовые поля, т.е. U = 0.

Уравнение Шредингера для стационарных состояний в этом случае:

Его решение: Ψ(x )=А е ikx , где А = const , k = const

И собственные значения энергии:

Т.к. k может принимать любые значения, то, следовательно, и Е принимает любые значения, т.е. энергетический спектр будет сплошным.

Временная волновая функция

(- уравнение волны)

т.е. представляет плоскую монохромную волну де Бройля.

§7 Частица в “потенциальной яме” прямоугольной формы.

Квантование энергии.

Найдем собственные значения энергии и соответствующие им собственные функции для частицы, находящейся в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме. Предположим что, частица может двигаться только вдоль оси x . Пусть движение ограничено непроницаемыми для частицы стенками x = 0, и x = ?. Потенциальная энергия U имеет вид:

Уравнение Шредингера для стационарных состояний для одномерной задачи

За пределы потенциальной ямы частица попасть не сможет, поэтому вероятность обнаружения частицы вне ямы равна 0.Следовательно, и Ψ за пределами ямы равна 0 .Из условий непрерывности следует, что Ψ = 0 и на границах ямы т.е.

Ψ(0) = Ψ(?) = 0

В пределах ямы (0 £ x £ l ) U = 0 и уравнение Шредингера.

введя получим

Общее решение

из граничных условий следует

y (0) = 0,

Таким образом

В = 0

Следовательно,

Из граничного условия

Следует

Þ

Тогда

Энергия Е n частицы в "потенциальной яме" с бесконечно высокими стенками принимает лишь определенные дискретные значения , т.е. квантуется. Квантованные значения энергии Е n называются уровнями энергии , а число n , определяющее энергические уровни частицы, называется главным квантовым числом. Т.е. частицы в "потенциальной яме" могут находиться только на определенном энергетическом уровне Е n (или находятся в квантовом состоянии n )

Собственные функции:

А найдем из усилия нормировки

Плотность вероятности. Из рис. видно, что плотность вероятности меняется в зависимости от n : при n = 1 частица, скорее всего, будет посередине ямы, но не на краях, при n = 2 - будет или в левой или в правой половине, но не посередине ямы и не на краях, и т.д. Т.е нельзя говорить о траектории движения частицы.

Энергетический интервал между соседними уровнями энергии:

При n = 1 имеет наименьшую энергию отличную от нуля

Наличие минимума энергии следует из соотношения неопределенностей, т.к.,

C ростом n расстояние между уровнями уменьшается и при n ® ¥ Е n практически непрерывны, т.е. дискретность сглаживается, т.е. выполняется принцип соответствия Бора: при больших значениях квантовых чисел законы квантовой механики переходят в законы классической физики.

Французский ученый Луи де Бройль выдвинул в гипотезу, что все частицы должны обладать волновыми свойствами. Согласно де Бройлю, с каждым микрообъектом связываются, с одной стороны, корпускулярные характеристики - энергия Е и импульс р , а с другой - волновые характеристики - частота n и длина волны l. Количественные соотношения, связывающие корпускулярные и волновые свойства частиц, такие же, как для фотонов:

E = hn, p = h/l . (3.6.1)

Таким образом, любой частице, обладающей импульсом, сопоставляют волновой процесс с длиной волны, определяемой по формуле де Бройля:

Гипотеза де Бройля была подтверждена экспериментально. В 1927 г. американские физики К.Дэвиссон и Л.Джермер обнаружили, что пучок электронов, рассеивающийся от естественной дифракционной решетки - кристалла никеля,- дает отчетливую дифракционную картину.

Одним из основных признаков элементарных частиц является их неделимость. Например, заряд может быть передан от одного тела к другому только в количестве, кратном заряду электрона. Таким свойствам, как неделимость, волны не обладают.

Если целостность частиц (электронов, в частности) при таких процессах как преломление, отражение, – сохраняется, то можно утверждать, что при падении на поверхность раздела частица либо отражается, либо преломляется. Но в таком случае волновые свойства частиц могут быть истолкованы только статистически .

В этом случае поведение каждой отдельной частицы не может быть определено с достоверностью, а может быть лишь указана вероятность того или иного поведения частицы.

Рассмотрим упрощённую схему опыта по дифракции на одной щели шириной d.

Оценим неопределённости в координате и импульсе, появляющиеся после попадания микрочастицы в щель преграды. Пусть щель располагается перпендикулярно к направлению движения микрочастицы. До взаимодействия со щелью Δp x = 0, а координата х микрочастицы является полностью неопределённой. При прохождении частицей щели вследствие дифракции появляется неопределённость:

Δp x = p sin a (3.6.3)

Условие первого минимума при дифракции на одной щели.

d sina = l (3.6.4)

C учётом, что d = Δх имеем:

Откуда воспользовавшись формулой де Бройля (3.6.2), получаем соотношение:

Δх·Δp x = h (3.6.6)

Полученное выражение является частным случаем соотношений неопределённостей Гейзенберга (1927 г.), и устанавливающих количественную связь между неопределённостями в определении координаты и соответствующей этой координате составляющей импульса (принцип неопределённости – нельзя одновременно точно определить значение координаты и импульса микрочастицы).

(3.6.7)

Соотношение неопределённостей работает и для неопределённостей в энергии какой либо системы ΔЕ и времени Δt существования этой системы в состоянии с данной энергией Е:

Физический смысл соотношения (3.6.8) заключается в том, что из-за конечности времени жизни атомов в возбуж­денном состоянии энергия возбужденных состояний атомов не является точно определенной, а поэтому соответствующий энергетический уровень характери­зуется конечной шириной. Из-за размытости возбужденных уровней энергия излучаемых фотонов характеризуется некоторым разбросом.

Физически разумная неопределённость Δp или Δx, во всяком случае, не должна превышать значения самого импульса p или координаты x, таким образом Δp £ p; Δx £ x.

Важно понять, что принцип неопределённости является сугубо физическим принципом и никак не связан с особенностями измерительных приборов. Из него вытекают очень важные следствия, характеризующие всю квантовую механику:

1. Микрочастицы не могут покоиться (например, электроны движутся вокруг ядра).

2. Для микрочастиц отсутствует понятие траектории (обычно избегают понятия скорости, ускорения, силы – нет точки её приложения).

Принцип неопределённостей играет роль фундамента квантовой механики, так как не только устанавливает физическое содержание и структуру её математического аппарата, но и правильно предсказывает результаты многих задач, связанных с движением микрочастиц. Является квантовым ограничением применимости классической механики к микрообъектам.

Похожая информация:

1. B. Призма поглощает белый свет одной длины волны, а излучает свет с разными длинами волн. Г. Призма поглощает белый свет одной частоты, а излучает свет разных частот

В 1924 году молодой французский физик-теоретик Луи де Бройль ввел в научный оборот понятие о волнах материи. Это смелое теоретическое предположение распространило свойство корпускулярно-волнового дуализма (двойственности) на все проявления материи - не только на излучение, но и на любые частицы вещества. И хотя современная квантовая теория понимает «волну материи» иначе, нежели автор гипотезы, этот физический феномен, связанный с вещественными частицами, носит его имя - волна де Бройля.

История рождения понятия

Предложенная в 1913 году Н. Бором полуклассическая модель атома была основана на двух постулатах:

1. Момент количества движения (импульса) электрона в атоме не может быть каким угодно. Он всегда пропорционален величине nh/2π, где n - любое целое число начиная с 1, а h - постоянная Планка, присутствие которой в формуле ясно свидетельствует о том, что момент импульса частицы квантован. Следовательно, в атоме существует набор разрешенных орбит, по которым только и может двигаться электрон, и, пребывая на них, он не излучает, то есть не теряет энергию.
2. Излучение или поглощение энергии атомным электроном происходит при переходе с одной орбиты на другую, и количество его равно разности энергий, соответствующих этим орбитам. Поскольку промежуточных состояний между разрешенными орбитами нет, излучение также строго квантуется. Частота его равна (E 1 - E 2)/h, это прямо следует из формулы Планка для энергии E = hν.

Итак, боровская модель атома «запретила» электрону излучать на орбите и находиться между орбитами, однако движение его рассматривала классически, подобно обращению планеты вокруг Солнца. Де Бройль искал ответ на вопрос, почему электрон ведет себя именно так. Нельзя ли естественным образом объяснить наличие допустимых орбит? Он предположил, что электрону обязательно должна сопутствовать некоторая волна. Именно ее присутствие заставляет частицу «выбирать» только такие орбиты, на которых эта волна укладывается целое число раз. В этом и заключался смысл целочисленного коэффициента в постулированной Бором формуле.

Из гипотезы следовало, что, электронная волна де Бройля - не электромагнитная, и волновые параметры должны быть свойственны любым частицам материи, а не только электронам в атоме.

Расчет длины волны, связанной с частицей

Молодой ученый получил чрезвычайно интересное соотношение, позволяющее определить, каковы же эти волновые свойства. Что представляет собой в количественном отношении волна де Бройля? Формула для ее расчета имеет простой вид: λ = h/p. Здесь λ - длина волны, а p - импульс частицы. Для нерелятивистских частиц данное отношение можно записать как λ = h/mv, где m - масса, а v - скорость частицы.

Почему эта формула представляет особый интерес, видно из величин, стоящих в ней. Де Бройлю удалось объединить в одном соотношении корпускулярную и волновую характеристики материи - импульс и длину волны. А связывающая их постоянная Планка (величина ее приблизительно равна 6,626 × 10 -27 эрг∙с или 6,626 × 10 -34 Дж∙с) задает масштаб, на котором проявляются волновые свойства вещества.

«Волны материи» в микро- и макромире

Итак, чем больше импульс (масса, скорость) физического объекта, тем меньше длина волны, связанной с ним. В этом и заключается причина того, что макроскопические тела не проявляют волновой составляющей своей природы. В качестве иллюстрации достаточно будет определить длину волны де Бройля для объектов различного масштаба.

• Земля. Масса нашей планеты - около 6 × 10 24 кг, скорость движения по орбите относительно Солнца - 3 × 10 4 м/с. Подставив эти значения в формулу, получим (приближенно): 6,6 × 10 -34 /(6 × 10 24 × 3 × 10 4) = 3,6 × 10 -63 м. Видно, что длина «земной волны» - исчезающе малая величина. К какой-либо возможности ее регистрации нет даже отдаленных теоретических предпосылок.
• Бактерия массой порядка 10 -11 кг, движущаяся со скоростью около 10 -4 м/с. Произведя аналогичный подсчет, можно узнать, что дебройлевская волна одного из мельчайших живых существ имеет длину порядка 10 -19 м - также слишком мало для того, чтобы ее обнаружить.
• Электрон, имеющий массу 9,1 × 10 -31 кг. Пусть электрон разогнан разностью потенциалов 1 В до скорости 10 6 м/с. Тогда длина электронной волны будет примерно 7 × 10 -10 м, или 0,7 нанометра, что сопоставимо с длинами рентгеновских волн и вполне поддается регистрации.

Масса электрона, как и прочих частиц, настолько мала, неощутима, что заметной становится другая сторона их природы - волнообразность.

Скорость распространения

Различают такие понятия, как фазовая и групповая скорость волн. Фазовая (скорость перемещения поверхности одинаковых фаз) для волн де Бройля превышает скорость света. Этот факт тем не менее не означает противоречия с теорией относительности, поскольку фаза не относится к числу объектов, посредством которых может передаваться информация, так что принцип причинности в данном случае никоим образом не нарушается.

Групповая же скорость меньше скорости света, она связана с перемещением суперпозиции (наложения) множества волн, образованных вследствие дисперсии, и именно она отражает скорость электрона или какой-либо иной частицы, с которой связана волна.

Экспериментальное обнаружение

Величина длины волны де Бройля позволила физикам осуществить опыты, подтверждающие предположение о волновых свойствах вещества. Ответить на вопрос, реальны ли электронные волны, мог эксперимент по выявлению дифракции потока этих частиц. Для рентгеновских лучей, близких по длине волны к электронам, не подходит обычная дифракционная решетка - период ее (то есть расстояние между штрихами) слишком велик. Подходящий размер периода имеют атомные узлы кристаллических решеток.

Уже в 1927 году К. Дэвиссоном и Л. Джермером был поставлен эксперимент по обнаружению дифракции электронов. В качестве отражательной решетки использовался монокристалл никеля, при помощи гальванометра фиксировалась интенсивность рассеяния электронного пучка на разных углах. Характер рассеяния выявил четкую дифракционную картину, подтвердившую предположение де Бройля. Независимо от Дэвиссона и Джермера, в том же году дифракцию электронов опытным путем обнаружил Дж. П. Томсон. Несколько позднее появление дифракционной картины было установлено для протонных, нейтронных, атомных пучков.

В 1949 году группа советских физиков под руководством В. Фабриканта провела успешный эксперимент с использованием не пучка, а отдельных электронов, что позволило неопровержимо доказать: дифракция не является каким-либо эффектом коллективного поведения частиц, а волновые свойства принадлежат электрону как таковому.

Развитие представлений о «волнах материи»

Сам Л. де Бройль волну представлял как реальный физический объект, неразрывно связанный с частицей и управляющий ее движением, и называл ее «волной-пилотом». Однако, продолжая рассматривать частицы как объекты, обладающие классическими траекториями, он не в силах был сказать что-либо о природе таких волн.

Развивая идеи де Бройля, Э. Шредингер пришел к представлениям о полностью волновой природе вещества, по сути, игнорируя корпускулярную ее сторону. Любая частица в понимании Шредингера представляет собой некий компактный волновой пакет и ничего более. Проблемой такого подхода стало, в частности, хорошо известное явление быстрого расплывания подобных волновых пакетов. В то же время частицы, например электрон, вполне стабильны и не «размазываются» по пространству.

В ходе бурных дискуссий середины 20-х годов XX века квантовая физика выработала подход, примиряющий корпускулярную и волновую картины в описании материи. Теоретически он был обоснован М. Борном, а суть его в нескольких словах можно выразить так: волна де Бройля отражает распределение вероятности нахождения частицы в определенной точке в некоторый момент времени. Поэтому ее также называют волной вероятности. Математически она описывается Шредингера, решение которой позволяет получить величину амплитуды этой волны. Квадрат модуля амплитуды и определяет вероятность.

Значение волновой гипотезы де Бройля

Вероятностный подход, усовершенствованный Н. Бором и В. Гейзенбергом в 1927 г., лег в основу так называемой копенгагенской интерпретации, которая стала чрезвычайно продуктивной, хотя принятие ее и далось науке ценой отказа от наглядно-механистических, образных моделей. Несмотря на наличие ряда спорных вопросов, таких как знаменитая «проблема измерения», с копенгагенской интерпретацией связано дальнейшее развитие квантовой теории с ее многочисленными приложениями.

Между тем следует помнить, что одной из основ бесспорного успеха современной квантовой физики явилась гениальная гипотеза де Бройля, теоретическое прозрение почти столетней давности о «волнах материи». Сущность его, невзирая на изменения первоначального толкования, остается неоспоримой: вся материя имеет двойственную природу, различные стороны которой, проявляясь всегда отдельно одна от другой, тем не менее тесно взаимосвязаны.

Длина волны квантовой частицы обратно пропорциональна ее импульсу.

Один из фактов субатомного мира заключается в том, что его объекты — такие как электроны или фотоны — совсем не похожи на привычные объекты макромира. Они ведут себя и не как частицы, и не как волны, а как совершенно особые образования, проявляющие и волновые, и корпускулярные свойства в зависимости от обстоятельств (см. Принцип дополнительности). Одно дело — это заявить, и совсем другое — связать воедино волновые и корпускулярные аспекты поведения квантовых частиц, описав их точным уравнением. Именно это и было сделано в соотношении де Бройля.

Луи де Бройль опубликовал выведенное им соотношение в качестве составной части своей докторской диссертации в 1924 году. Казавшееся сначала сумасшедшей идей, соотношение де Бройля в корне перевернуло представления физиков-теоретиков о микромире и сыграло важнейшую роль в становлении квантовой механики. В дальнейшем карьера де Бройля сложилась весьма прозаично: до выхода на пенсию он работал профессором физики в Париже и никогда более не поднимался до головокружительных высот революционных прозрений.

Теперь кратко опишем физический смысл соотношения де Бройля: одна из физических характеристик любой частицы — ее скорость. При этом физики по ряду теоретических и практических соображений предпочитают говорить не о скорости частицы как таковой, а о ее импульсе (или количестве движения ), который равен произведению скорости частицы на ее массу. Волна описывается совсем другими фундаментальными характеристиками — длиной (расстоянием между двумя соседними пиками амплитуды одного знака) или частотой (величина, обратно пропорциональная длине волны, то есть число пиков, проходящих через фиксированную точку за единицу времени). Де Бройлю же удалось сформулировать соотношение, связывающее импульс квантовой частицы р с длиной волны λ, которая ее описывает:

p = h /λ или λ = h /p

Это соотношение гласит буквально следующее: при желании можно рассматривать квантовый объект как частицу, обладающую количеством движения р ; с другой стороны, ее можно рассматривать и как волну, длина которой равна λ и определяется предложенным уравнением. Иными словами, волновые и корпускулярные свойства квантовой частицы фундаментальным образом взаимосвязаны.

Соотношение де Бройля позволило объяснить одну из величайших загадок зарождающейся квантовой механики. Когда Нильс Бор предложил свою модель атома (см. Атом Бора), она включала концепцию разрешенных орбит электронов вокруг ядра, по которым они могли сколь угодно долго вращаться без потери энергии. С помощью соотношения де Бройля мы можем проиллюстрировать это понятие. Если считать электрон частицей, то, чтобы электрон оставался на своей орбите, у него должна быть одна и та же скорость (или, вернее, импульс) на любом расстоянии от ядра.

Если же считать электрон волной, то, чтобы он вписался в орбиту заданного радиуса, надо, чтобы длина окружности этой орбиты была равна целому числу длины его волны. Иными словами, окружность орбиты электрона может равняться только одной, двум, трем (и так далее) длинам его волн. В случае нецелого числа длин волны электрон просто не попадет на нужную орбиту.

Главный же физический смысл соотношения де Бройля в том, что мы всегда можем определить разрешенные импульсы (в корпускулярном представлении) или длины волн (в волновом представлении) электронов на орбитах. Для большинства орбит, однако, соотношение де Бройля показывает, что электрон (рассматриваемый как частица) с конкретным импульсом не может иметь соответствующую длину волны (в волновом представлении) такую, что он впишется в эту орбиту. И наоборот, электрон, рассматриваемый как волна определенной длины, далеко не всегда будет иметь соответствующий импульс, который позволит электрону оставаться на орбите (в корпускулярном представлении). Иными словами, для большинства орбит с конкретным радиусом либо волновое, либо корпускулярное описание покажет, что электрон не может находиться на этом расстоянии от ядра.

Однако существует небольшое количество орбит, на которых волновое и корпускулярное представление об электроне совпадают. Для этих орбит импульс, необходимый для того, чтобы электрон продолжал движение по орбите (корпускулярное описание), в точности соответствует длине волны, необходимой, чтобы электрон вписался в окружность (волновое описание). Именно эти орбиты и оказываются разрешенными в модели атома Бора, поскольку только на них корпускулярные и волновые свойства электронов не вступают в противоречие.

Мне нравится еще одна интерпретация этого принципа — философская: модель атома Бора допускает только такие состояния и орбиты электронов, при которых не важно, какую из двух ментальных категорий человек применяет для их описания. То есть, иными словами, реальный микромир устроен так, что ему нет дела до того, в каких категориях мы пытаемся его осмыслить!

См. также:

1926