Обратная функция. Теория и применение

Допустим, что у нас есть некая функция y = f (x) , которая является строго монотонной (убывающей или возрастающей) и непрерывной на области определения x ∈ a ; b ; область ее значений y ∈ c ; d , а на интервале c ; d при этом у нас будет определена функция x = g (y) с областью значений a ; b . Вторая функция также будет непрерывной и строго монотонной. По отношению к y = f (x) она будет обратной функцией. То есть мы можем говорить об обратной функции x = g (y) тогда, когда y = f (x) на заданном интервале будет либо убывать, либо возрастать.

Две этих функции, f и g , будут взаимно обратными.

Для чего вообще нам нужно понятие обратных функций?

Это нужно нам для решения уравнений y = f (x) , которые записываются как раз с помощью этих выражений.

Допустим, нам нужно найти решение уравнения cos (x) = 1 3 . Его решениями будут все точки: x = ± a rс c o s 1 3 + 2 π · k , k ∈ Z

Обратными по отношению друг к другу будут, например, функции арккосинуса и косинуса.

Разберем несколько задач на нахождение функций, обратных заданным.

Пример 1

Условие: какая функция будет обратной для y = 3 x + 2 ?

Решение

Область определений и область значений функции, заданной в условии, – это множество всех действительных чисел. Попробуем решить данное уравнение через x , то есть выразив x через y .

Мы получим x = 1 3 y - 2 3 . Это и есть нужная нам обратная функция, но y здесь будет аргументом, а x - функцией. Переставим их, чтобы получить более привычную форму записи:

Ответ: функция y = 1 3 x - 2 3 будет обратной для y = 3 x + 2 .

Обе взаимно обратные функции можно отобразить на графике следующим образом:

Мы видим симметричность обоих графиков относительно y = x . Эта прямая является биссектрисой первого и третьего квадрантов. Получилось доказательство одного из свойств взаимно обратных функций, о котором мы поговорим далее.

Возьмем пример, в котором нужно найти логарифмическую функцию, обратную заданной показательной.

Пример 2

Условие: определите, какая функция будет обратной для y = 2 x .

Решение

Для заданной функции областью определения являются все действительные числа. Область значений лежит в интервале 0 ; + ∞ . Теперь нам нужно выразить x через y , то есть решить указанное уравнение через x . Мы получаем x = log 2 y . Переставим переменные и получим y = log 2 x .

В итоге у нас вышли показательная и логарифмическая функции, которые будут взаимно обратными друг другу на всей области определения.

Ответ: y = log 2 x .

На графике обе функции будут выглядеть так:

Основные свойства взаимно обратных функций

В этом пункте мы перечислим основные свойства функций y = f (x) и x = g (y) , являющихся взаимно обратными.

Определение 1

Первое свойство мы уже вывели ранее: y = f (g (y)) и x = g (f (x)) .
Второе свойство вытекает из первого: область определения y = f (x) будет совпадать с областью значений обратной функции x = g (y) , и наоборот.
Графики функций, являющихся обратными, будут симметричными относительно y = x .
Если y = f (x) является возрастающей, то и x = g (y) будет возрастать, а если y = f (x) убывает, то убывает и x = g (y) .

Советуем внимательно отнестись к понятиям области определения и области значения функций и никогда их не путать. Допустим, что у нас есть две взаимно обратные функции y = f (x) = a x и x = g (y) = log a y . Согласно первому свойству, y = f (g (y)) = a log a y . Данное равенство будет верным только в случае положительных значений y , а для отрицательных логарифм не определен, поэтому не спешите записывать, что a log a y = y . Обязательно проверьте и добавьте, что это верно только при положительном y .

А вот равенство x = f (g (x)) = log a a x = x будет верным при любых действительных значениях x .

Не забывайте про этот момент, особенно если приходится работать с тригонометрическими и обратными тригонометрическими функциями. Так, a r c sin sin 7 π 3 ≠ 7 π 3 , потому что область значений арксинуса - π 2 ; π 2 и 7 π 3 в нее не входит. Верной будет запись

a r c sin sin 7 π 3 = a r c sin sin 2 π + π 3 = = п о ф о р м у л е п р и в и д е н и я = a r c sin sin π 3 = π 3

А вот sin a r c sin 1 3 = 1 3 – верное равенство, т.е. sin (a r c sin x) = x при x ∈ - 1 ; 1 и a r c sin (sin x) = x при x ∈ - π 2 ; π 2 . Всегда будьте внимательны с областью значений и областью определений обратных функций!

Основные взаимно обратные функции: степенные

Если у нас есть степенная функция y = x a , то при x > 0 степенная функция x = y 1 a также будет обратной ей. Заменим буквы и получим соответственно y = x a и x = y 1 a .

На графике они будут выглядеть следующим образом (случаи с положительным и отрицательным коэффициентом a):

Основные взаимно обратные функции: показательные и логарифмические

Возьмем a,которое будет положительным числом, не равным 1 .

Графики для функций с a > 1 и a < 1 будут выглядеть так:

Основные взаимно обратные функции: тригонометрические и обратные тригонометрические

Если нам нужно построить график главной ветви синуса и арксинуса, он будет выглядеть следующим образом (показан выделенной светлой областью).

Здравствуйте! На этом уроке мы поговорим об обратных функциях. Предположим, у нас есть некоторая функция f. Она отображает множество Х во множество У. Здесь, допустим, будет множество Х, а здесь множество У. Мы знаем, что функция – это всего-навсего соответствие между элементами множества Х и элементами множества У. Пусть это у нас будет какой-то элемент множества Х, и под действием функции он отразится в элемент множества У. Вот наша функция. Под ее действием элемент будет отображаться во множество Y. Функцию поэтому и называют еще отображением. Функция f отображает элемент множества Х в элемент множества У. Вот этому элементу из множества Х соответствует этот элемент из множества У. Давайте назовем эти элементы. Это пусть будет а, а это b. Тогда мы можем записать, что а принадлежит множеству Х, а b, принадлежит множеству У. А значит, f(a)=b. Вот мы и повторили, что такое функция. А теперь рассмотрим несколько весьма интересных функций. На самом деле их будет только две. Это будут тождественные функции. Назовем первую функцию I с индексом х, так как эта функция оперирует на множестве Х. Функция Iх отображает множество Х в множество Х. И самое интересное в тождественной функции, что если мы возьмем какой-то элемент а, принадлежащий множеству Х, то тождественная функция от этого элемента будет равна самому этому элементу, Iх(а)=а. И если бы мы изобразили функцию Iх(а), то она выглядела бы так. Элемент а переходит сам в себя. Вот такой кружок у нас получился. Элемент а отображается сам в себя. Это тождественная функция Iх. Аналогично, если мы возьмем любую другую точку из множества Х, то она также будет отражаться в саму себя. Это у нас тождественная функция на множестве Х. Теперь запишем функцию на множестве У. b принадлежит множеству У. Вот этот элемент b. Тогда функция Iу(b) будет равна b. b соответствует самому себе. Значит, это равно b. Тождественная функция на множестве У. Вы, возможно, скажете, что такого рода функции бессмысленны. Может это и так, но они довольно полезны в линейной алгебре. Теперь давайте выясним, что такое обратимая функция. Думаю, этот термин вам ещё не знаком. Итак, функция называется обратимой в том случае, если выполняются следующие условия. Я поставила двойную стрелку, так как если условия выполняются, то из этого следует, что функция обратима, и наоборот, если функция обратима, то выполняются условия. Значит, функция обратима в том случае, если существует функция обратная (обозначим эту функцию как f в минус первой степени)… Мы ведь помним, что f – это обычная функция, которая отображает множество Х во множество У. Теперь вернемся к условиям. Функция обратима в том случае, если существует функция обратная f, которая отображает множество У во множество Х. Давайте повторим еще раз: функция называется обратимой, если существует функция обратная f, которая отображает множество У в множество Х, и которая в композиции с функцией f в минус первой степени равна тождественной функции, Итак, композиция функции f с функцией f в минус первой степени равна тождественной функции. Давайте внимательно посмотрим, что здесь происходит. Только сначала до конца запишем определение обратимой функции. И, конечно же, композиция функции f и функции обратной f должна равняться тождественной функции на множестве У. Таким образом, если существует некоторая функция обратная f … давайте подпишем: обратная. И эта функция отображает множество У во множество Х… Функция f отображает множество Х в множество У. Вот так можно показать эту функцию. Элементу множества Х соответствует элемент множества У. И мы только что сказали, что должна существовать еще одна функция (обратная функция), которая отображает элементы множества У в элементы множества Х. Таким образом, обратная функция – это функция, которая показывает, что элементу из множества У соответствует элемент из множества Х. В первом случае Х выступает областью определения функции, а во втором – целевым множеством. У же в первом случае является целевым множеством, а во втором – областью определения. Надеюсь, это понятно. Давайте посмотрим, что записано дальше. Композиция функции f и обратной ей функции должна равняться тождественной функции. Что собой представляет эта композиция? Функция f отображает множество Х во множество У, а обратная ей функция отображает множество У во множество Х. Значит, f переводит множество Х во множество У, а обратная функция переводит множество У во множество Х. То есть, по сути, эта композиция функций отображает множество Х во множество Х. Именно это и делает тождественная функция. Значит, это и есть тождественная функция. Мы задаем функции f значение из множества Х, она отображает это значение во множество У, а обратная функция, в свою очередь, отображает это значение из множества У обратно во множество Х. По-другому мы можем записать это так: композиция обратной функции и функции от какого-то значения а из множества Х равна тождественной функции на множестве Х. Эти два выражения равнозначны. И по определению это равно а. Или же мы можем записать это как композицию функции обратной f и функции f от а равно а. Именно об этом в первом выражении и говорится. Теперь посмотрим, как все это происходит вот здесь. Есть такой элемент а, принадлежащий множеству Х, который функция f отображает в элемент b. b – это то же самое, что и f(a). Затем под действием обратной функции… она, правда, не всегда существует, но если она есть, она отобразит f(a) обратно в а. По определению этот элемент должен вернуться на свое место. По сути, этот элемент делает круг и возвращается во множество Х. Именно это показывает тождественная функция. Только что мы разобрались с первым утверждением. Переходим ко второму. Здесь сказано, что если мы применим функцию f к обратной функции, то получим тождественную функцию на множестве У. Значит, мы начинаем с какой-то точки на множестве У, под действием обратной функции получаем какую-то точку на множестве Х. Если это у нас какой-то элемент у, тогда это будет функция обратная f от y. И теперь под действием функции, обратной f от у, мы вернемся к первоначальному элементу из множества У. Т.е. это равнозначно действию тождественной функции на множестве У. Именно об этом говорится во втором утверждении. Мы это также можем записать как f от функции обратной f от у (у – это элемент множества У) должно равняться у. Мы и ранее говорили об обратной функции, но в этот раз мы рассмотрели это понятие более подробно. Итак, предположим, у нас есть какая-то функция f, и существует обратная ей функция, которая удовлетворяет этим двум условиям, тогда получается, что f – это обратимая функция. Возникает вопрос: «Будет ли обратная функция уникальной?» А также вопрос: «Как узнать, обратима ли функция?» Но об этом мы поговорим в другой раз. А сейчас нас интересует, является ли обратная функция уникальной. И чтобы ответить на этот вопрос, давайте предположим, что она не уникальна. Если она не уникальна, следовательно, может быть две обратные функции, которые удовлетворяют этим двум условиям. Пусть первой обратной функцией будет g. Функция f отображает множество Х во множество У, а функция g отображает множество У во множество Х. Возьмем функцию f, а к ней применим функцию g… f из множества Х перенесет нас во множество У, а g из этого множества У вернет нас в Х. И в результате этих отображений должна получиться тождественная функция на множестве Х. Это часть определения обратной функции. А мы только что предположили, что g – это функция обратная f. Обратная функция – это функция, которая удовлетворяет этим условиям. Допустим, у нас есть еще одна обратная функция h, которая отображает множество У во множество Х. h – это другая обратная функция. И согласно определению эта обратная функция h должна также удовлетворять двум условиям. Первое – она должна отображать множество У во множество Х. А второе – композиция функций h и f должна равняться тождественной функции на множестве Х. Но это не все условия, которым должна удовлетворять функция. Здесь мы говорили о том, что композиция функции обратной f и функции f равна тождественной функции на множестве Х. А также композиция f и функции обратной f равна тождественной функции на множестве У. Значит, и здесь мы должны дописать, что функция f от g должна равняться тождественной функции на множестве У. Соответственно, и здесь мы дописываем, что функция f от h должна равняться тождественной функции на множестве У. Я предлагаю опять нарисовать множества и посмотреть еще раз, что делает функция и обратная ей функция. Допустим, это у нас множество Х, а это множество У. Мы знаем, что функция f отображает множество Х во множество У. И мы пытаемся доказать, что обратная функция является уникальной. Доказываем это от противного. Мы предположили, что на самом деле обратных функций у функции может быть несколько. Первая обратная функция – это g. Она удовлетворяет всем этим условиям. Значит, мы можем на рисунке показать, что функция функция g возвращает нас из множества У в исходную точку на множестве Х. Композиция функции f и обратной ей функции g равнозначна тождественной функции на множестве Х. Мы начинаем с множества Х и заканчиваем тоже множеством Х. Это у нас g. То же самое происходит и с функцией h. Функция f отображает какой-то элемент из множества Х во множество У, а функция h отображает этот элемент из множества У в исходный элемент из множества Х. Композиция функции f и обратной ей функции h также равнозначна тождественной функции на множестве Х. Только что мы показали на рисунке это утверждение и это. Теперь разберемся с оставшимися двумя. Если мы возьмем какое-то значение из множества У и применим функцию g (не забываем, что это обратная функция), то в итоге получим значение уже из множества Х. g переносит нас из множества У во множество Х. Но потом под действием функции f мы вернемся к тому же значению из множества У, с которого и начинали. То есть, по сути, это то же самое, что и тождественная функция на множестве У. Аналогичная ситуация и с функцией h. Берем точку из области У, функция h отображает ее в точку из области Х, а функция f отражает точку из Х в ту же самую точку из У. Вот мы и разобрались с этими всеми утверждениями. Теперь вернемся к нашему вопросу: «Может ли у одной функции быть две обратные функции?» Итак, начнем с функции g, напомню, что она отображает элементы множества Y во множество Х. Функция g – это то же самое, что и композиция тождественной функции на множестве Х и функции g. Что это означает? Давайте я быстренько нарисую множества. Это множество Х, а это У. g отображает множество У во множество Х. Вот так. g переносит нас из множества У во множество Х. И только что я сказала, что функция g равна композиции тождественной функции на множестве Х и функции g. Значит, функция g отобразила множество У во множество Х, а тождественная функция отобразила множество Х само в себя. То есть в результате мы получим одну и ту же точку. А как по-другому мы можем записать тождественную функцию на множестве Х? Мы можем воспользоваться обратной функцией h. Если h – это другая обратная функция, то выполняются следующие условия. И вот у нас здесь есть тождественная функция на множестве Х. Следовательно, мы можем заменить композицию функций g и f на тождественную функцию на множестве Х. Давайте так и сделаем. Тогда это будет равно функции h от f и от g (равно композиции функций h и f и еще g). Можно композицию первых функций взять в скобки (я нарисую скобки). Хотя скобки в принципе ни на что не влияют. Ведь когда-то я уже говорила, что композиция функций ассоциативна. А значит, что это равно композиции функции h и композиции функций f и g. А чему равна композиция функций f и g? Композиция функций f и g равна (из определения обратной функции g) тождественной функции на множестве У. Значит, это равно композиции h и тождественной функции на множестве Y. А что такое композиция h и тождественная функция на множестве У? Функция h отображает множество Y во множество X. Опять-таки я предлагаю все это продемонстрировать. Это множество Х, а это множество У. Функция h отображает множество У во множество Х. А как выглядит композиция функции h и тождественной функции на множестве У? Тождественная функция на множестве У отображает множество У во множество У, то есть само в себя. А потом функция h отображает множество У во множество Х. То есть по сути, это то же самое, что и просто функция h. Значит, здесь мы можем записать, что это равно h. Изначально мы предположили, что у одной функции может быть две обратные функции. Теперь вы видите, что эти функции равны, g должна быть равна h. Таким образом, у функции может быть только одна обратная функция. Обратная функция – уникальна. Мы только что это доказали. Надеюсь, вам понравилось сегодняшнее занятие. На этом все. До скорых встреч!

Что такое обратная функция? Как найти функцию, обратную данной?

Определение .

Пусть функция y=f(x) определена на множестве D, а E — множество её значений. Обратная функция по отношению к функции y=f(x) — это функция x=g(y), которая определена на множестве E и каждому y∈E ставит в соответствие такое значение x∈D, что f(x)=y.

Таким образом, область определения функции y=f(x) является областью значений обратной к ней функции, а область значений y=f(x) — областью определения обратной функции.

Чтобы найти функцию, обратную данной функции y=f(x), надо :

1) В формулу функции вместо y подставить x, вместо x — y:

2) Из полученного равенства выразить y через x:

Найти функцию, обратную функции y=2x-6.

Функции y=2x-6 и y=0,5x+3 являются взаимно обратными.

Графики прямой и обратной функций симметричны относительно прямой y=x (биссектрисы I и III координатных четвертей).

y=2x-6 и y=0,5x+3 — . Графиком линейной функции является . Для построения прямой берём две точки.

Однозначно выразить y через x можно в том случае, когда уравнение x=f(y) имеет единственное решение. Это можно сделать в том случае, если каждое своё значение функция y=f(x) принимает в единственной точке её области определения (такая функция называется обратимой ).

Теорема (необходимое и достаточное условие обратимости функции)

Если функция y=f(x) определена и непрерывна на числовом промежутке, то для обратимости функции необходимо и достаточно, чтобы f(x) была строго монотонна.

Причем, если y=f(x) возрастает на промежутке, то и обратная к ней функция также возрастает на этом промежутке; если y=f(x) убывает, то и обратная функция убывает.

Если условие обратимости не выполнено на всей области определения, можно выделить промежуток, где функция только возрастает либо только убывает, и на этом промежутке найти функцию, обратную данной.

Классический пример — . На промежутке $

Так как эта функция убывает и непрерывна на промежутке $X$, то на промежутке $Y=$, которая также убывает и непрерывна на этом промежутке (теорема 1).

Вычислим $x$:

\ \

Выбираем подходящие $x$:

Ответ: обратная функция $y=-\sqrt{x}$.

Задачи на нахождение обратных функций

В этой части рассмотрим обратные функции для некоторых элементарных функций. Задачи будем решать по схеме, данной выше.

Пример 2

Найти обратную функцию для функции $y=x+4$

Найдем $x$ из уравнения $y=x+4$:

Пример 3

Найти обратную функцию для функции $y=x^3$

Решение.

Так как функция возрастает и непрерывна на всей области определения, то, по теореме 1, она имеет на ней обратную непрерывную и возрастающую функцию.

Найдем $x$ из уравнения $y=x^3$:

Находим подходящие значения $x$

Значение в нашем случае подходит (так как область определения -- все числа)

Переопределим переменные, получим, что обратная функция имеет вид

Пример 4

Найти обратную функцию для функции $y=cosx$ на промежутке $$

Решение.

Рассмотрим на множестве $X=\left$ функцию $y=cosx$. Она непрерывна и убывает на множестве $X$ и отображает множество $X=\left$ на множество $Y=[-1,1]$, поэтому по теореме о существовании обратной непрерывной монотонной функции у функции $y=cosx$ в множестве $Y$ существует обратная функция, которая также непрерывна и возрастает в множестве $Y=[-1,1]$ и отображает множество $[-1,1]$ на множество $\left$.

Найдем $x$ из уравнения $y=cosx$:

Находим подходящие значения $x$

Переопределим переменные, получим, что обратная функция имеет вид

Пример 5

Найти обратную функцию для функции $y=tgx$ на промежутке $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$.

Решение.

Рассмотрим на множестве $X=\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ функцию $y=tgx$. Она непрерывна и возрастает на множестве $X$ и отображает множество $X=\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ на множество $Y=R$, поэтому по теореме о существовании обратной непрерывной монотонной функции у функции $y=tgx$ в множестве $Y$ существует обратная функция, которая также непрерывна и возрастает в множестве $Y=R$ и отображает множество $R$ на множество $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$

Найдем $x$ из уравнения $y=tgx$:

Находим подходящие значения $x$

Переопределим переменные, получим, что обратная функция имеет вид