Дифференциальное исчисление функций нескольких. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных Дифференциальное исчисление функции многих действительных переменных

лухов Ю.П. Конспект лекций по высшей математике. 6

Лекция 22

ТЕМА: Дифференциальное исчисление функции нескольких переменн ы х

План.

1. Дифференцирование сложных функций. Инвариантность формы дифференциала.
2. Неявные функции, условия их существования. Дифференцирование неявных функций.
3. Частные производные и дифференциалы высших порядков, их свойства.*
4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл дифференциала. Формула Тейлора для функции нескольких переменных. *
5. Производная функции по направлению. Градиент и его свойства.

Дифференцирование сложных функций

Пусть аргументы функции z = f (x , y ) u и v : x = x (u , v ), y = y (u , v ). Тогда функция f тоже есть функция от u и v . Выясним, как найти ее частные производные по аргументам u и v , не делая непосредственной подстановки z = f (x (u , v ), y (u , v )). При этом будем предполагать, что все рассматриваемые функции имеют частные производные по всем своим аргументам.

Зададим аргументу u приращение Δ u , не изменяя аргумент v . Тогда

. (16. 1 )

Если же задать приращение только аргументу v , получим:

. (16. 2 )

Разделим обе части равенства (16. 1 ) на Δ u , а равенства (16. 2 ) – на Δ v и перейдем к пределу соответственно при Δ u → 0 и Δ v → 0. Учтем при этом, что в силу непрерывности функций х и у . Следовательно,

(16. 3 )

Рассмотрим некоторые частные случаи.

Пусть x = x (t ), y = y (t ). Тогда функция f (x , y ) является фактически функцией одной переменной t , и можно, используя формулы (43 ) и заменяя в них частные производные х и у по u и v на обычные производные по t (разумеется, при условии дифференцируемости функций x (t ) и y (t ) ) , получить выражение для:

(16. 4 )

Предположим теперь, что в качестве t выступает переменная х , то есть х и у связаны соотношением у = у (х). При этом, как и в предыдущем случае, функция f х. Используя формулу (16.4) при t = x и учитывая, что, получим, что

. (16. 5 )

Обратим внимание на то, что в этой формуле присутствуют две производные функции f по аргументу х : слева стоит так называемая полная производная , в отличие от частной, стоящей справа.

Примеры.

1. Пусть z = xy , где x = u ² + v , y = uv ². Найдем и. Для этого предварительно вычислим частные производные трех заданных функций по каждому из своих аргументов:

Тогда из формулы (16.3) получим:

(В окончательный результат подставляем выражения для х и у как функций u и v ).

1. Найдем полную производную функции z = sin (x + y ²), где y = cos x .

Инвариантность формы дифференциала

Воспользовавшись формулами (15.8) и (16. 3 ), выразим полный дифференциал функции

z = f (x , y ) , где x = x (u , v ), y = y (u , v ), через дифференциалы переменных u и v :

(16. 6 )

Следовательно, форма записи дифференциала сохраняется для аргументов u и v такой же, как и для функций этих аргументов х и у , то есть является инвариантной (неизменной).

Неявные функции, условия их существования

Определение. Функция у от х , определяемая уравнением

F (x , y ) = 0 , (16.7 )

называется неявной функцией .

Конечно, далеко не каждое уравнение вида (16.7 ) определяет у как однозначную (и, тем более, непрерывную) функцию от х . Например, уравнение эллипса

задает у как двузначную функцию от х : для

Условия существования однозначной и непрерывной неявной функции определяются следующей теоремой:

Теорема 1 (без доказательства). Пусть:

1. функция F (x , y ) определена и непрерывна в некотором прямоугольнике с центром в точке (х 0 , у 0 ) ;
2. F (x 0 , y 0 ) = 0 ;
3. при постоянном х F (x , y ) монотонно возрастает (или убывает) с возрастанием у .

Тогда

а) в некоторой окрестности точки (х 0 , у 0 ) уравнение (16.7 ) определяет у как однозначную функцию от х : y = f (x ) ;

б) при х = х 0 эта функция принимает значение у 0 : f (x 0 ) = y 0 ;

в) функция f (x ) непрерывна.

Найдем при выполнении указанных условий производную функции y = f (x ) по х .

Теорема 2 . Пусть функция у от х задается неявно уравнением (16.7 ), где функция F (x , y ) удовлетворяет условиям теоремы 1. Пусть, кроме того, - непрерывные функции в некоторой области D , содержащей точку (х,у), координаты которой удовлетворяют уравнению (16.7 ), причем в этой точке
. Тогда функция у от х имеет производную

(16.8 )

Доказательство.

Выберем некоторое значение х и соответствующее ему значение у . Зададим х приращение Δ х , тогда функция y = f (x ) получит приращение Δ у . При этом F (x , y ) = 0, F (x + Δ x , y +Δ y ) = 0, поэтому F (x + Δ x , y +Δ y ) – F (x , y ) = 0. Слева в этом равенстве стоит полное приращение функции F (x , y ), которое можно представить в виде (15.5 ):

Разделив обе части полученного равенства на Δ х , выразим из него : .

В пределе при
, учитывая, что и
, получим: . Теорема доказана.

Пример. Найдем, если. Найдем, .

Тогда из формулы (16.8 ) получаем: .

Производные и дифференциалы высших порядков

Частные производные функции z = f (x , y ) являются, в свою очередь, функциями переменных х и у . Следовательно, можно найти их частные производные по этим переменным. Обозначим их так:

Таким образом, получены четыре частные производные 2-го порядка. Каждую из них можно вновь продифференцировать по х и по у и получить восемь частных производных 3-го порядка и т.д. Определим производные высших порядков так:

Определение . Частной производной n -го порядка функции нескольких переменных называется первая производная от производной (n – 1)-го порядка.

Частные производные обладают важным свойством: результат дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования (например,).

Докажем это утверждение.

Теорема 3. Если функция z = f (x , y ) и ее частные производные
определены и непрерывны в точке М (х, у) и в некоторой ее окрестности, то в этой точке

(16.9 )

Доказательство.

Рассмотрим выражение и введем вспомогательную функцию. Тогда

Из условия теоремы следует, что дифференцируема на отрезке [ x , x + Δ x ], поэтому к ней можно применить теорему Лагранжа: где

[ x , x + Δ x ]. Но Так как в окрестности точки М определена, дифференцируема на отрезке [ y , y + Δ y ], поэтому к полученной разности вновь можно применить теорему Лагранжа: , где Тогда

Изменим порядок слагаемых в выражении для А :

И введем другую вспомогательную функцию, тогда Проведя те же преобразования, что и для, получим, что где. Следовательно,

В силу непрерывности и. Поэтому, переходя к пределу при получаем, что, что и требовалось доказать.

Следствие. Указанное свойство справедливо для производных любого порядка и для функций от любого числа переменных.

Дифференциалы высших порядков

Определение . Дифференциалом второго порядка функции u = f (x , y , z ) называется

Аналогично можно определить дифференциалы 3-го и более высоких порядков:

Определение . Дифференциалом порядка k называется полный дифференциал от дифференциала порядка (k – 1): d k u = d (d k - 1 u ).

Свойства дифференциалов высших порядков

1. k -й дифференциал является однородным целым многочленом степени k относительно дифференциалов независимых переменных, коэффициентами при которых служат частные производные k -го порядка, умноженные на целочисленные постоянные (такие же, как при обычном возведении в степень):

1. Дифференциалы порядка выше первого не инвариантны относительно выбора переменных.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл дифференциала

Пусть функция z = f (x , y ) является дифференцируемой в окрестности точки М (х 0 , у 0 ) . Тогда ее частные производные и являются угловыми коэффициентами касательных к линиям пересечения поверхности z = f (x , y ) с плоскостями у = у 0 и х = х 0 , которые будут касательными и к самой поверхности z = f (x , y ). Составим уравнение плоскости, проходящей через эти прямые. Направляющие векторы касательных имеют вид {1; 0; } и {0; 1; }, поэтому нормаль к плоскости можно представить в виде их векторного произведения: n = {-,-, 1}. Следовательно, уравнение плоскости можно записать так:

, (16.10 )

где z 0 = .

Определение. Плоскость, определяемая уравнением (16.10 ), называется касательной плоскостью к графику функции z = f (x , y ) в точке с координатами (х 0 , у 0 , z 0 ) .

Из формулы (15.6 ) для случая двух переменных следует, что приращение функции f в окрестности точки М можно представить в виде:

Или

(16.11 )

Следовательно, разность между аппликатами графика функции и касательной плоскости является бесконечно малой более высокого порядка, чем ρ, при ρ→ 0.

При этом дифференциал функции f имеет вид:

что соответствует приращению аппликаты касательной плоскости к графику функции. В этом состоит геометрический смысл дифференциала.

Определение. Ненулевой вектор, перпендикулярный касательной плоскости в точке М (х 0 , у 0 ) поверхности z = f (x , y ) , называется нормалью к поверхности в этой точке.

В качестве нормали к рассматриваемой поверхности удобно принять вектор -- n = {,-1}.

z = f (x,y)

M 0 (x 0 , y 0 , z 0 )

M (x 0 , y 0 )

Пример.

Составим уравнение касательной плоскости к поверхности z = xy в точке М (1; 1). При х 0 = у 0 = 1 z 0 = 1; . Следовательно, касательная плоскость задается уравнением: z = 1 + (x – 1) + (y – 1), или x + y – z – 1 = 0. При этом вектор нормали в данной точке поверхности имеет вид: n = {1; 1; -1}.

Найдем приращение аппликат графика функции и касательной плоскости при переходе от точки М к точке N (1,01; 1,01).

Δ z = 1,01² - 1 = 0,0201; Δ z кас = (1,01 + 1,01 – 1) – (1 + 1 – 1) = 0,02. Следовательно,

dz = Δ z кас = 0,02. При этом Δ z – dz = 0,0001.

Формула Тейлора для функции нескольких переменных

Как известно, функцию F (t ) при условии существования ее производных по порядок n +1 можно разложить по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа (см. формулы (21), (2 5 )). Запишем эту формулу в дифференциальной форме:

(16.1 2 )

где

В этой форме формулу Тейлора можно распространить на случай функции нескольких переменных.

Рассмотрим функцию двух переменных f (x , y ) , имеющую в окрестности точки (х 0 , у 0 ) непрерывные производные по (n + 1)-й порядок включительно. Зададим аргументам х и у некоторые приращения Δ х и Δ у и рассмотрим новую независимую переменную t :

(0 ≤ t ≤ 1). Эти формулы задают прямолинейный отрезок, соединяющий точки (х 0 , у 0 ) и (х 0 + Δ х, у 0 + Δ у ). Тогда вместо приращения Δ f (x 0 , y 0 ) можно рассматривать приращение вспомогательной функции

F(t) = f (x 0 + t Δ x, y 0 + t Δ y) , (16.1 3 )

равное Δ F (0) = F (1) – F (0). Но F (t ) является функцией одной переменной t , следовательно, к ней применима формула (16.1 2 ). Получаем:

Отметим, что при линейной замене переменных дифференциалы высших порядков обладают свойством инвариантности, то есть

Подставив эти выражения в (16.1 2 ), получим формулу Тейлора для функции двух переменных :

, (16.1 4 )

где 0< θ <1.

Замечание. В дифференциальной форме формула Тейлора для случая нескольких переменных выглядит достаточно просто, однако в развернутом виде она весьма громоздка. Например, даже для функции двух переменных первые ее члена выглядят так:

Производная по направлению. Градиент

Пусть функция u = f (x , y , z ) непрерывна в некоторой области D и имеет в этой области непрерывные частные производные. Выберем в рассматриваемой области точку M (x , y , z ) и проведем из нее вектор S , направляющие косинусы которого cosα , cosβ , cosγ . На векторе S на расстоянии Δ s от его начала найдем точку М 1 (х+ Δ х, у+ Δ у, z + Δ z ), где

Представим полное приращение функции f в виде:

где

После деления на Δ s получаем:

.

Поскольку предыдущее равенство можно переписать в виде:

(16.15 )

Определение. Предел отношения при называется производной от функции u = f (x , y , z ) по направлению вектора S и обозначается.

При этом из (16.1 5 ) получаем:

(16.1 6 )

Замечание 1 . Частные производные являются частным случаем производной по направлению. Например, при получаем:

.

Замечание 2. Выше определялся геометрический смысл частных производных функции двух переменных как угловых коэффициентов касательных к линиям пересечения поверхности, являющейся графиком функции, с плоскостями х = х 0 и у = у 0 . Аналогичным образом можно рассматривать производную этой функции по направлению l в точке М(х 0 , у 0 ) как угловой коэффициент линии пересечения данной поверхности и плоскости, проходящей через точку М параллельно оси O z и прямой l .

Определение . Вектор, координатами которого в каждой точке некоторой области являются частные производные функции u = f (x , y , z ) в этой точке, называется градиентом функции u = f (x , y , z ).

Обозначение: grad u = .

Свойства градиента

1. Производная по направлению некоторого вектора S равняется проекции вектора grad u на вектор S .

Доказательство . Единичный вектор направления S имеет вид e S ={ cosα , cosβ , cosγ }, поэтому правая часть формулы (16.1 6 ) представляет собой скалярное произведение векторов grad u и e s , то есть указанную проекцию.

1. Производная в данной точке по направлению вектора S имеет наибольшее значение, равное | grad u |, если это направление совпадает с направлением градиента. Доказательство. Обозначим угол между векторами S и grad u через φ. Тогда из свойства 1 следует, что

| grad u |∙ cosφ , (16.1 7 )

следовательно, ее наибольшее значение достигается при φ=0 и равно | grad u |.

1. Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору grad u , равна нулю.

Доказательство. В этом случае в формуле (16.17)

1. Если z = f (x , y ) – функция двух переменных, то grad f = направлен перпендикулярно к линии уровня f (x , y ) = c , проходящей через данную точку.

афедра информатики и высшей математики КГПУ

Расширением исчисления функций переменной является многомерный анализ, когда происходит дифференциальное исчисление функций нескольких переменных – функции, которые интегрируются и дифференцируются, затрагивают не одну, а несколько переменных.

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных подразумевает проводить следующие типичные операции:

1. Непрерывность и пределы.

Ко многим патологическим и нелогичным результатам, которые не свойственны функции одной переменной, приводит исследование непрерывности и пределов в многомерных пространствах. К примеру, имеются двух переменных скалярные функции, имеющие в области определения точки, которые дают специфический предел при приближении вдоль прямой, а при приближении вдоль параболы дают совершенно иной предел. К нулю функция стремится к нулю при прохождении по любой прямой, которая проходит через начало координат. В связи с тем, что пределы не совпадают по различным траекториям, единого предела не существует.

При стремлении переменных х, функция пределом имеет определенное число. Если предельное значение функции в определенной точке существует и равняется частному значению функции, то такая функция называется непрерывной в данной точке. Если функция непрерывна на множестве точек, то тогда она называется непрерывной на множестве точек.

2. Нахождение частной производной.

Под частная производной нескольких переменных подразумевается производная одной переменной, а константами считаются все остальные переменные.

3. Кратное интегрирование.

На функции многих переменных кратный интеграл расширяет понятие интеграла. Для вычисления объемов и площадей областей в пространстве и плоскости используются интегралы двойные и тройные. Согласно теоремы Тонелли-Фубини, кратный интеграл также может вычислен быть, как повторный интеграл.

Все это позволяет производить дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.

Касательная плоскость к поверхности z = f(x, y) Z - z = p(X - x) + q(Y - y) , где X, Y, Z - текущие координаты; x, y, z - координаты точки касания;
Нормаль к поверхности F(x, y, z) = 0 в точке M(x, y, z)

X - x F " x

Элементы высшей алгебры (8 часов)

Применение дифференциального исчисления для исследования функций и построения графиков (26 часов)

Дифференциальное исчисление функций одной переменной

(30 часов)

2.1. Локальные и глобальные свойства функции. Свойства функций, непре­рывных на отрезке (первая и вторая теоремы Вейерштрасса и теорема
Коши). Определение и свойства производной функции. Геометриче­ский и механический смысл производной.

2.2. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Про­изводные обратных тригонометрических функций. Функции, заданные
параметрически. Их дифференцирование. Таблицы производных про­стейших элементарных функций. Дифференциал и его свойства.

2.3. Производные и дифференциалы высших порядков. Вторая производная
от функции, заданной параметрически. Производная вектор–функции и
ее геометрический смысл. Возрастание (убывание) функции в точке.
Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Следствия из теоремы Лагранжа.
Отыскание локальных и глобальных экстремумов функций. Раскрытие
неопределенностей по правилу Лопиталя.

3.1. Формула и ряд Тейлора. Бином Ньютона. Формулы Тейлора для эле­ментарных функций. Выпуклость функции. Точки перегиба. Асимпто­ты функции. Построение графиков функций.

3.2 Векторные функции скалярного аргумента и их дифференцирование.
Механический и геометрический смысл производной. Уравнения каса­тельной прямой и нормальной плоскости.

3.3 Кривизна и радиус кривизны плоской кривой.

4.1. Комплексные числа, действия над ними. Изображение комплексных
чисел на плоскости. Геометрический смысл. Модуль и аргумент ком­плексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы ком­плексного числа. Формула Эйлера.

4.2. Многочлены. Теорема Безу. Основная теорема алгебры. Разложение
многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квад­ратичные множители. Разложение рациональных дробей на простей­шие.

переменных (20 часов)

5.1. Область определения. Предел функции, непрерывность. Дифференци­руемость функции нескольких переменных, частные производные и
полный дифференциал, связь с частными производными. Производные
от сложных функций. Инвариантность формы полного дифференциала.
Производные неявной функции.

5.2. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический
смысл полного дифференциала функции двух переменных.

5.3. Частные производные высших порядков. Теорема о независимости ре­зультата дифференцирования от порядка дифференцирования. Диффе­ренциалы высших порядков.

5.4. Кривизна и кручение пространственной кривой. Формулы Френе.

5.5. Формула Тейлора для функции нескольких переменных. Экстремумы
функций нескольких переменных. Необходимые и достаточные усло­вия экстремума. Условный экстремум. Наибольшее и наименьшее зна­чения функций в замкнутой области. Метод множителей Лагранжа.
Примеры применений при поиске оптимальных решений.

Вопросы к экзамену по математике. II семестр.

При ответе на вопрос требуется дать определение всем используемым терминам.

Алгебра.

1. Группы, кольца, поля. Изоморфизм групп.

2. Определение линейного пространства. Теорема о линейно зависимых и независимых системах векторов.

3. Теорема о линейной зависимости системы из k векторов, каждый из которых является линейной комбинацией некоторой системы из m векторов (k>m).

4. Базис линейного пространства. Теорема об инвариантности числа элементов базиса. Теорема о количестве элементов линейно независимой системы (Т. 1.3, Т.1.4).

5. Координаты вектора. Теоремы о координатах вектора (Т.1.5 и Т.1.7).

6. Определение и свойства скалярного произведения. Угол между векторами.

7. Пространства и .

8. Подпространство линейного пространства. Линейная оболочка системы векторов.

9. Матрицы: определение; сложение и умножение на число. Размерность и базис пространства матриц одного размера.

10. Перемножение матриц. Свойства.

11. Обратные и транспонированные матрицы.

12. Перемножение матриц, разбитых на блоки.

13. Ортогональные матрицы.

14. Определитель матрицы: определение, разложение по первому столбцу. Определитель верхней и нижней треугольных матриц. Связь определителей и .

15. Перестановки.

16. Теорема о выражении определителя через сумму слагаемых, в каждом из которых содержится произведение элементов матрицы (по одному из каждой строки и каждого столбца), снабженных знаком по некоторому правилу.

17. Свойства определителей: перестановка строк (столбцов), разложение по произвольному столбцу (строке), сумма произведений элементов i-ой строки на алгебраические дополнения соответствующих элементов j-ой строки.

18. Линейность определителя по элементам строки или столбца. Определитель матрицы, строки (столбцы) которой являются линейно зависимыми. Определитель матрицы, к некоторой строке которой прибавлена другая, умноженная на число.

19. Определитель блочной матрицы. Определитель произведения матриц.

20. Обратная матрица. Следствия о треугольных матрицах.

21. Матрицы элементарных преобразований.

22. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений в случае, когда системы несовместны или имеют единственное решение.

23. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений в случае, когда системы имеют бесконечно много решений. Структура общего решения систем.

24. Однородные системы линейных уравнений.

25. Теорема Крамера.

26. Горизонтальный и вертикальный ранги матрицы. Ранг по минорам. Их совпадение для трапециевидной матрицы.

27. Неизменность ранга матрицы при умножении ее на невырожденную. Теорема о равенстве рангов для произвольной матрицы.

28. Теорема Кронекера-Капелли.

29. Собственные числа и векторы матрицы. Совпадение характеристических многочленов у подобных матриц. Линейная независимость собственных векторов, соответствующих различным собственным числам.

30. Связь между линейной зависимостью системы векторов и соответствующей системы координатных столбцов. Связь координатных столбцов одного вектора в разных базисах.

31. Линейное отображение линейных пространств. Матрица отображения в некоторых базисах. Ее использование для вычисления образа вектора. Связь матриц отображения в разных базисах.

32. Ядро и образ отображения. Ранг отображения, его связь с рангом матрицы отображения.

33. Собственные числа и собственные векторы оператора. Матрица оператора в базисе из собственных векторов.

34. Линейная независимость собственных векторов, соответствующих различным собственным числам оператора. Собственные подпространства, их размерность. Следствия.

35. Евклидовы и унитарные пространства. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта.

36. Теорема о собственных числах и собственных векторах вещественной симметричной матрицы.

37. Теорема об ортогональном подобии вещественной симметричной матрицы некоторой диагональной матрице. Следствия.

38. Определение билинейной и квадратичной форм. Матрица билинейной формы в некотором базисе, ее использование для вычисления билинейной формы. Связь матриц одной билинейной формы в разных базисах.

39. Теорема о существовании ортогонального преобразования базиса, приводящего квадратичную форму к каноническому виду. Практический метод приведения квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования базиса (метод собственных векторов). Построение кривой

40. Теорема о необходимом и достаточном условии положительной (отрицательной) определенности квадратичной формы.

41. Теорема о существовании треугольного преобразования базиса, приводящего квадратичную форму к каноническому виду. Критерий Сильвестра.

Математический анализ.

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.

42. Последовательность точек в .Теорема о покоординатной сходимости.

43. Предел функции р переменных. Непрерывность функции р переменных. Теорема Вейерштрасса.

44. Дифференцируемость функции р переменных. Дифференцируемость суммы и произведения дифференцируемых функций.

45. Частные производные функции р переменных. Связь между дифференцируемостью функции и существованием частных производных. Пример функции, которая имеет частные производные в точке А, но не дифференцируема в этой точке.

46. Дифференцируемость функции в случае существования и непрерывности частных производных.

47. Производная сложной функции. Частные производные сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала.

48. Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных.

49. Дифференциалы высших порядков. Отсутствие инвариантности формы у дифференциалов порядка выше первого.

50. Формула Тейлора функции р переменных.

51. Теорема о существовании и дифференцируемости неявно заданной функции одной переменной. Вычисление первой и второй производных функции у(х) , заданной неявно уравнением

52. Теорема о существовании и дифференцируемости неявно заданных функций р переменных, заданных системой функциональных уравнений. Приемы вычисления производных. Вычисление первых и вторых производных функции z(x,y) , заданной неявно уравнением

.

Вычисление первых производных функций y(x), z(x) , u(x), заданных неявно системой

.

53. Определение точек экстремума функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия существования точек экстремума.

54. Определение точек условного экстремума функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия существования точек условного экстремума. Пример: найти точки условного экстремума функции при условии .

При ответе на оценку 3 требуется знать все определения и формулировки из вопросов 1 – 54, а также доказательства теорем из вопросов 25, 29, 33, 40, 46, 49. Использовать конспекты (и шпаргалки) нельзя.

Введение в математический анализ

1. Множества, способы их задания. Кванторы. Операции над множествами (объединение, пересечение, разность), их свойства. Модуль числа, его свойства. Декартово произведение множеств. Грани множеств. Счетные и несчетные множества.

2.. Функции, способы их задания, классификация.

3. Окрестность точки. Предел последовательности. Теоремы Больцано-Коши и Вейерштрасса (без доказательства). Определение предела функции по Гейне.

4. Односторонние пределы. Необходимые и достаточные условия существования предела. Геометрический смысл предела.

5. Определение предела функции непрерывного аргумента по Коши при и .

6. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, взаимосвязь между ними. Свойства бесконечно малых функций.

7. Теоремы о представлении функции в виде суммы предела и бесконечно малой функции.

Теоремы о пределах (свойства пределов).

8. Теорема о промежуточной функции. Первый замечательный предел.

9. Второй замечательный предел, его обоснование, применение в финансовых вычислениях.

10. Сравнение бесконечно малых функций.

11. Непрерывность функции в точке и на отрезке. Действия над непрерывными функциями. Непрерывность основных элементарных функций.

12. Свойства непрерывных функций.

13. Точки разрыва функций.

Дифференциальное исчисление функций одной переменной

14. Производная функции, ее геометрический и механический смысл.

15. Взаимосвязь непрерывности и дифференцируемости функции. Непосредственное нахождение производной.

16. Правила дифференцирования функций.

17. Вывод формул дифференцирования тригонометрических и обратных тригонометрических функций.

18. Вывод формул дифференцирования логарифмической и показательной функций.

19. Вывод формул дифференцирования степенной и показательно-степенной функций. Таблица производных. Производные высших порядков.

20. Эластичность функции, её геометрический и экономический смысл, свойства. Примеры.

21. Дифференциал функции одной переменной. Определение, условия существования, геометрический смысл, свойства.

22. Применение дифференциала функции одной переменной для приближенных вычислений. Дифференциалы высших порядков.

23. Теорема Ролля, её геометрический смысл, примеры её использования.

24. Теорема Лагранжа о конечном приращении функции, её геометрический смысл.

25. Теорема Коши о дифференцируемых функциях.

26. Правило Лопиталя, его использование для раскрытия неопределенностей при нахождении пределов.

27. Формула Тейлора. Остаточный член в форме Лагранжа и Пеано.

28. Формула Маклорена, её остаточный член. Разложение элементарных функций.

29. Формула Маклорена, её применение для нахождения пределов и вычисления значений функций.

30. Монотонные функции. Необходимый и достаточный признаки монотонности функции.

31. Локальный экстремум функции. Необходимый признак экстремума функции.

32. Первый и второй достаточные признаки экстремума функции.

33. Достаточный признак выпуклости, вогнутости графика функции.

34. Необходимый и достаточный признаки существования точки перегиба.

35. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построения графика.

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

36. Функция нескольких переменных, ее определение, линии уровня и поверхности уровня.

37. Определение предела функции нескольких переменных по Коши. Свойства пределов.

38. Бесконечно малые функции. Определения непрерывности функции нескольких переменных. Точки и линии разрыва. Свойства непрерывных функций.

39. Частные приращения и частные производные функции нескольких переменных. Правило нахождения частных производных. Геометрический смысл частных производных.

40. Необходимые условия дифференцируемости функции нескольких переменных. Примеры взаимосвязи дифференцируемых и непрерывных функций.

41. Достаточные условия дифференцируемости функции нескольких переменных.

42. Полный дифференциал функции нескольких переменных, его определение.

43. Применение полного дифференциала функций нескольких переменных для приближенных вычислений.

44. Частные производные и дифференциалы высших порядков.

45. Частные производные сложной функции нескольких переменных.

46. Частные производные функции нескольких переменных, заданной неявно.

47. Производная функции нескольких переменных по направлению.

48. Градиент функции нескольких переменных, его свойства.

49. Формула Тейлора для функции нескольких переменных.

50. Необходимый и достаточный признаки локального экстремума функции двух переменных.

51. Условный экстремум функции нескольких переменных. Метод множителей Лагранжа.

52. Достаточный признак условного экстремума. Абсолютный экстремум функции нескольких переменных.

53. Метод наименьших квадратов.